Дискретно-непрерывная математика (стр. 14 )

Однако если к добавим эту связку, то получим функционально полную трехзначную логику, которую обозначим посредством

Теперь, если к аксиомам Вайсберга для добавим две аксиомы, содержащие связку Слупецкого Тр:

то получим аксиоматизацию трехзначной логики представлен­ную Е. Слупецким [Shipecki 1936]. Заметим, что в классической ло­гике никакие формулы вида не являются тавтоло­гиями.

3.1.2. Трехзначная модальная логика Лукасевича

Обратим внимание на еще одну особенность (и в целом любой многозначной логики), которая состоит в том, что теперь мы мо­жем конструировать новые логические связки, не существующие в С2. Этот факт для Лукасевича является весьма важным, поскольку он показал, что в рамках двузначной логики нельзя построить мо­дальную логику, но теперь, введя в логику третье истинностное значение, Лукасевич ставит задачу дать такое определение связки возможности чтобы для всех теорем о модальных предложени­ях, идущих от Аристотеля и вплоть до Лейбница, существовала ин­терпретация в трехзначной логике посредством которой каждая такая теорема была бы истинной. Искомое определение было дано в 1921 г. А. Тарским: т. е. «возможно, что р» означает

«если не-р, то р». Связка необходимости определяется через ис­ходную связку обычным образом: Исходя из этих определений строятся истинностные таблицы для

Обратим внимание, что можно ввести и другие модальные ло­гические связки, наиболее интересной из которых является связка случайности: [Prior 1953]:

Эта связка интерпретируется как «неопределено, что...», обозначаетсяпосредством «Ір» и определяется:

Связка эта, как мы увидим, окажется довольно востребованной. Заметим только, что впервые она была введена в 1938 г., обозначена каки интерпретирована как «р не имеет смысла» (см. ниже раздел 3.3.1).

райор обратил внимание на то, что между свойствами модальных операторови модальных опера­торов системы Льюиса S5 (см. гл. 8) имеется некоторое сходство, которое нашло свое точное выражение в работе Р. Вудруффа [Woodruff 1974], где дан перевод в S5 такой, что только те фор­мулы есть теоремы в чей перевод есть теоремы S5. Таким обра­зом, можно проинтерпретировать посредством S5. Более того, в [Minari 2003] дана аксиоматизация с помощью характеристиче­ских модальных аксиом для S5 и значительно упрощено доказа­тельство теоремы полноты для предложенное Вайсбергом. Од­нако заметим, что, как и во всякой модальной логике, в не имеет местано, к сожалению, формула оказывается тавтологией.

Напомним, что исходными логическими связками в явля­ются отрицание ~ и импликация→, через которые и определяются дизъюнкция , конъюнкция и модальные операторы Но

легко видеть, что посредством отрицания, дизъюнкции и конъюнк­ции нельзя определить импликацию в Более того, при выделен­ном значении «1» множество тавтологий в системе с исходными связками будет пусто. Однако если к этой системе доба-

вить модальные операторы Тарского, как это делает Е. Слупецкий в статье, посвященной интуитивной интерпретации [Shtpecki, Bryll andPrucnal 1967] (см. также [Слупецкий 1974]), то получим логику, функционально эквивалентнуюЧтобы это показать, достаточно через множество связок этой логики определить импликацию из Слупецкий это делает следующим образом:

,

замечая по этому поводу, что смысл данного выражения, т. е. смысл импликации Лукасевича, довольно-таки неуловим. И поэтому в указанной работе решается проблема, поставленная Слупецким, об аксиоматизации трехзначной логики Лукасевича со множествами исходных связок В итоге дается аксиоматизация со мно­жеством связок 12, а в качестве импликации принимается связка которая вводится по определению:

Определение импликации р → q посредством этих же связок имеется уже у Г. Мойсила [Moisil 1940], но значительно сложнее. Отметим также, что [Шестаков 1964] предложено следующее определение им­пликации Лукасевича:

3.2. Трехзначная логика Гейтинга Ga

Трехзначная матричная интуиционистская логика G3 появилась в работе А. Гейтинга, где впервые было сформулиро­вано пропозициональное (и предикатное) интуиционистское ис­числение Int (о некоторых свойствах последнего см. в гл. 8.2.2). ( Аксиоматизация Int получается из аксиоматизации С2, приведенной (см. выше раздел 1.4), посредством замены закона снятия двойного отрицания на закон Дунса Скота )

Отрицание, импликацию, дизъюнкцию и конъюнкцию в G3 обозна­чим посредствомсоответственно.

Истинностные таблицы для G3 впервые были использованы Гейтингом при доказательстве независимости аксиом Int и выгля­дят следующим образом:

Заметим, что это как раз те истинностные таблицы, которые появились у нас при доказательстве независимости аксиомы обрат­ной контрапозиции (см. 2.3).

Таблицы для и в G3 в точности совпадают с таблицами для этих связок вЗаметим, что истинностная таблица для была использована нами при доказательстве независимости аксиомы контрапозиции(см. 2.3.) Разница между системами связок и G3 весьма существенна, поскольку в G3 черезнельзя опре-

делитьНо

Отсюда следует, что в качестве исходных связок в G3 можно взять связки Легко убедиться, что нини

не являются здесь тавтологиями, но первая есть тавтология в

Истинностные таблицы для G3 появляются также в работе К. Гёделя [Godel 1932] при построении последовательности п-значных логических матриц, каждая из которых не является харак­теристической для Int, а также в работе С. Яськовского [Jaskowski