Дискретно-непрерывная математика (стр. 58 )

(см. также [MostoM'ski 1964: 72]).

( В связи с этим интересная проблема поставлена В. Н, Гришиным [Гришин 1974]. Берется классическое исчисление предикатов Генцена LK [Генцен 1967] без правил сокращения. Такая логика обозначается посредствомВ силу результата [Scavpellini 1962] следует, что слабее Можно ли добавить к какое-нибудь множество (бесконечное) правил так, чтобы получилась логика показал, что в класс всех аксиом свертывания непротиво - речив, а сама разрешима.)

Аналогичные этому две аксиоматизации были представлены в [Belhtce and Chang 1963] и [Hay 1963]. Подробно о проблемах аксиоматизации см. в [Gottwald 2001].

Повышенный интерес кобусловлен тем, что в 1958 г. Т. Скулем показал, что полная аксиома свертывания является непротиворечивой для теории множеств (упрощенное доказательтво см. в [Fenstad 1964]). Подробно об этом и других результатах см. в [Gottwald 2000]. Дополнительную информацию об аксиоматизации и использовании нечетких логик в теории множеств см. в [DiNola, Georgescu andSpada 2008].

8.1.1. Алгебраизация

Целое направление в алгебраической логике было основано рабо­той [Chang 1958], в которой вводится понятие MV-алгебры. Основной целью Чэна была разработка алгебраического аппарата, подходящего для изучения бесконечнозначной пропози­циональной логики Лукасевича точно так же, как булева алгеб­ра стала инструментом для изучения свойств классической пропо­зициональной логики. В итоге Чэн дает чисто алгебраическое дока­зательство полноты (см. также [Chang 1959]).

Многообразие, порожденное структурой называется MV-алгеброй, где

Аксиоматизация MV - алгебры содержит 22 тождества и была упрощена П. Мангани [Mangani 1973] до 9 тождеств сле­дующим образом. Алгебраесть MV - алгебра т. т.т., когда она удовлетворяет следующим тождествам:

( Тождества (6) и (7) можно заменить на тождество (см. [Cignoli and Mimdici 1998]).)

Заметим, что аксиомы (1)-(3) устанавливают, что есть абелев моноид.

В [Cattaneo and Lombardo 1998] дана независимая аксиома­тизация MV - алгебр:

В языке MV - алгебр можно определить следующие операции:

Тогда для каждой MV - алгебры редукт есть ог-

раниченная дистрибутивная решетка.

показал [Chang 1958], что булева алгебра совпадает с MV - алгеброй, если в последней имеет место идемпотентность В свою очередь, Р. Григолия [Grigolia 1977] на основе MV - алгебры строит MV n-алгебры для изучения конечнозначных ло­гик Лукасевича откуда, например, следует, что алгебраическим примером является MV - алгебра, если в последней имеет место

Примеры. Пусть G есть решеточно-упорядоченная абелева группа (l-группа). Для каждого пусть

и для каждого пусть

и Нетрудно видеть, чтоесть MV - алгебра, которая обозначается Г(G, и). Если G = R (= аддитивная группа действительных чисел с естественным порядком и и= 1, тогда Г (R, 1) совпадает с MV - алгеброй [0, 1], представленной выше.

MV - алгебра называется линейной т. т.т., когда определенное на ней отношение частичного порядка является также отноше-

нием линейного порядка: или

Главным алгебрическим результатом для логики является

Теорема представления Чэна. Каждая MV-алгебра изоморфна подпрямому произведению линейно-упорядоченных MV-алгебр, т. е. дефинициалъным вариантам матриц Лукасевича для

Пусть t1 и t2 термы в языке WV - алгебры. Тогда равенство t1 = t2 имеет место во всех MV - алгебрах т. т.т., когда оно имеет ме­сто во всех линейно-упорядоченных MV- алгебрах.

Теорема полноты. Равенство t1 = t2 имеет место в [0, 1] т. т.т., когда оно имеет место в каждой MV-алгебре.

После доказательства полноты Чэном, являющегося теорети­ко-модельным и использующим элиминацию кванторов, появился целый ряд других доказательств: [Cignoli 1993], где используется представление свободных абелевых l-групп; [Panti 1995], предло­жившем геометрическое доказательство; наконец, в [Cignoli and Mundici 1997] дается доказательство теоремы Чэна о полноте, тре­бующее лишь элементарных знаний алгебры.

Изучение алгебраических свойств шло и по другому на­правлению. Ю. Комори [Komori 1978] вводит понятие CN-алгебры и в последней работе изучает их некоторые алгебраи­ческие свойства, чтобы исследовать расширения (к этому во­просу мы вернемся ниже). Систематическое изучение этих алгебр под названием «алгебр Вайсберга» (W-алгебры) было предпринято в [Rodriguez 1980]. Часть этих результатов опубликована в [Font, Rodriguez and Torrens 1984], где показано, что W-алгебры эквива­лентны (взаимно определяемые) MV-алгебрам. Также в [Rodriguez 1980] дана характеризация конечнозначных логик Лукасевича посредством n-элементных алгебр Вайсберга. Преимущество W-алгебр перед MV -алгебрами в том, что они формулируются в терминах импликации → и отрицанияи поэтому их логический смысл более ясен. ,

Алгебраесть W-алгебра т. т.т., когда она

удовлетворяет следующим тождествам:

Доказательство эквивалентности MV - алгебр и W-алгебр осно­вано на следующих равенствах:и Поскольку в W-алгебре имеет место

то есть алгебра де Моргана.

Примером W-алгебры является алгебра Линденбаума пропо­зиционального исчисления Другим примером является матрица

L∞.

С другой стороны, алгебры Вайсберга могут быть получены дуальным образом, если идти от ВСК-алгебр. Последние были введены в [Isiki 1966] как алгебраический пример для ВСК-логики:

Правила вывода: МР и подстановка. В [Wronski 1983] показано, что ВСК-алгебра не является многообразием, т. е. ее нельзя задать в виде од­них тождеств. В [Tanaka 1975] было введено понятие коммутатив­ной ВСК-алгебры, а в [Yutairi 1977] показано, что коммутативная ВСК