Дискретно-непрерывная математика (стр. 44 )

6.3.1. Предварительные замечания

Рассмотрим класс п-значных логик Ln. сигнатуры

где— множество истинностных зна-

чений.

Эти логики задаются операциями на множестве истинностных значений Vn, причем выполняются следующие условия:

(1) Алгебраявляется квазирешеткой (см. 4.4),

(2) Наличие всех -операторов (см, выше),

(3) Ограничения операций на под­множество {0, 1} множества Vn суть обычные классические опера­ции отрицания, дизъюнкции, конъюнкции и импликации соответ­ственно.

Отметим, что наличие в сигнатуре всех J-операторов

интуитивно означает возможность для любогона

языке логики Ln говорить о том, что некоторое предложение А этой логики принимает данное истинностное значение α. Отсуствие ка-когоглибо из J-операторовсоответственно, означало бы

невозможность делать на языке данной логики утверждения типа: «предложение А принимает истинностное значение β». Например, если мы имеем трехзначную логику с истинностными значениями «истина» (1), «ложь» (0) и «бессмыслица» (1/2), и -оператор был бы невыразим в нашей логике, то мы не смогли бы на языке этой логики высказать утверждение о «бессмысленности» какого-либо предложения.

Отметим, что все результаты будут иметь место для значи­тельно более широкого класса логик, а именно для таких логик, в которых функционально выразима сигнатура

удовлетворяющая указанным выше условиям (1), (2), (3).

Логики, в которых выразимы все -операторы, называются истинностно-полными логиками. А истинностно-полные логики, в которых выразимы операции ограничения которых

на подмножество {0, 1} совпадает с классическими логическими связками, называются истинностно-полными С-расширяющими логиками:, потому что, говоря неформально, они содержат на мно­жестве {0, 1} классическую логику С2, т. е. Ln совпадает с С2 на множестве {0, 1}. В этом смысле так определенный класс конечно-значных логик «похож» на классическую логику. Отметим, что в класс истинностно-полных С-расширяющих логик, удовлетворяю­щих условию квазирешеточности, попадают все конечнозначные логики Лукасевича, логики, соответствующие алгебрам Лукасевича-Мойсила, трехзначная логика Бочвара и ее обобщения, класс трехзначных логик значения из работы [Финн, Аншаков, Григолия и Забежайло 1980], n-значные логики Поста, логика истинности фон Вригта Т", максимльно предполные логики Тn (см. раздел 7.3.3.2.1) и многие другие конечнозначные логики.

Условие квазирешеточности возникает здесь не случайно и связано со свойством логики быть хорошо кванторизуемой. Кван­торы всеобщности и существования здесь определяются как обоб­щенные конъюнкция и дизъюнкция соответственно. Для этого не­обходимо и достаточно, чтобы конъюнкция и дизъюнкция зависели только от множества значений своих компонент и, следовательно, не зависели бы ни от расстановки скобок, ни от порядка членов, ни от количества одинаковых компонент. Таким образом, как для конъюнкции, так и для дизъюнкции должны иметь место законы ассоциативности, коммутативности и идемпотентности, т. е. множе­ство истинностных значений относительно этих операций образует квазирешетку. Выполнение этого условия и делает логику хорошо кванторизуемой.

Заметим, что понятие многозначного квантора введено в [Rosser and Turquette 1952], хотя уже неявно появилось в [Mostowski 1948].

6.3.2. Аксиоматизация

Рассмотрим гильбертовское исчисление предикатов для конечно-значных логик из работы [Апшаков и Рынков 1982].

6.3.2.1. Синтаксис

Алфавит:

1) Предметные переменные

2) Функциональные буквы

3) Предикатные буквы

4) Связки

5) Кванторы

5) Скобки

Определение 1.

а) Каждая константа (функциональный символ вида и

каждая предметная переменная есть терм.

б) Если термы, а п-арная функциональная буква, то — тоже терм.

Определение 2.

а) Если — термы, то- атомарная формула.

б) Если А и В — формулы, а х — предметная переменная, то формулами будут и выражения

Свободные и связанные вхождения переменных определяются обычным образом. Используются также обычные соглашения об опускании скобок. Кроме того, по силе связывания приравнива­ется к отрицанию

Определение 3.

а) Если А - формула, то - внешняя формула.

б) Если X и Y — внешние формулы, то внешними формулами будут и выражения

В дальнейшем будем использовать буквы А, В, С, ... как мета - переменные для формул, а буквы X, Y, Z, ... - как метапеременные для внешних формул.

Система аксиом:

I. Пропозициональные аксиомы связи (Р) (см. 1.4)

>,

Определение 4.

Будем говорить, что терм t допустим для подстановки в формулу А вместо переменной х, если ни одно свободное вхождение переменной х не находится в области действия кванторов по пере­менным, входящим в t. Запись означает формулу, получен­ную из А в результате подстановки t вместо х во всех свободных вхождениях, причем при этом подразумевается, что t допустим для подстановки в А вместо х.

ІІ. Кванторные аксиомы (Q)

где t — произвольный терм, допустимый для подстановки в X вме­сто х

Определение 5.

Аксиомы связи (А).

Будем использовать малые греческие буквы как переменные для элементов множества истинностных значений Vn.

Примечание 1.

Сокращающие символыпонимаются как.

соответственно при условии, чтоЕсли же то через обозначается

Формула а через обозначается формула где X

— произвольно выбранная внешняя формула. Что касается бинар­ных операций то в силу коммутативности, ассоциативно­сти и идемпотентности запись имеет смысл, при­чем

Определение 6.

Через Con α обозначим множество

Через Dis α обозначим множество Кванторные аксиомы связи (QA)

Правила вывода:

1. Modus ponens:

где здесь и далее Х и Y— внешние формулы.