Дискретно-непрерывная математика (стр. 73 )

Суммируем свойства этой матрицы. Во-первых, две указанные трехзначные подматрицы образуют дистрибутивную квази­решетку. Во-вторых, подматрицы с истинностными значениями образуют булеву решетку. В результате это дает деморгановскую недистрибутивную квази-решетку. Таким обра­зом, эта матрица является моделью для нечеткой алгебры типа 2, точно так же как трехэлементная матрица Клини является моделью для нечеткой алгебры типа 1.

Однако интересно рассмотреть модель для нормальной нечет­кой алгебры типа 2. Оказывается, не существует не только трех­элементной, но и четырехэлементной модели для нормальной не­четкой алгебры типа 2 (!) С помощью компьютерной программы было найдено 14 пар подходящих пятизначных матриц. Рассмот­рим одну из них, которая отличается от пятизначных сильных мат­риц Клини только тем, что Этого оказа­лось достаточно, чтобы разрушить дистрибутивность и закон поглощения:

Заметим, что здесь подматрицыявля-

ются в точности трехзначными и четырехзначными матрицами Клини.

В итоге мы имеем иерархию минимальных логических мат­риц, в основе которой лежат следующие соответствия:

• наивная теория множеств - алгебра Буля - двузначные матрицы классической логики;

• теория нечетких множеств типа 1 — алгебра Клини (де-моргановская дистрибутивная решетка с законом Кли­ни) — трехзначные матрицы Клини;

• теория нечетких множеств типа 2 - деморгановская не­дистрибутивная квази-решетка с невыполнением усло­вия (X) -четырехзначные матрицы;

• теория нормальных нечетких множеств типа 2 - демор­гановская недистрибутивная квази-решетка с выполне­нием условия (X) — пятизначные матрицы.

Отметим, что матрицами для теории интервально-значных не­четких множеств и матрицами для теории нормальных выпуклых множеств типа 2 являются четырехзначные матрицы, поскольку ал­геброй этих множеств является алгебра Де Моргана. Эти матрицы являются минимальными для различения алгебры Де Моргана от алгебры Клини.

9.3.2. На пути к нечеткой логике

Бесчисленное употребление термина «нечеткая логика» в заглавии работ может ввести читателя в заблуждение. Как уже подчеркива­лось, возникают серьезные технические трудности при оперирова­нии объектами такой сложной природы, как нечеткие множества типа 2. В предисловии к сборнику [Ягер (ред.), 1986] Л. Заде обра­щает внимание на незатронутую область исследований в этой кни­ге, а именно на важность таких понятий, как нечеткие множества высших типов, т. е. множества с нечеткими функциями принадлеж­ности. Развитие эффективных средств анализа нечеткой арифмети­ки и нечеткозначной логики Л. Заде считает проблемой первосте­пенной важности. Эти проблемы рассматриваются в сборнике [Поспелов (ред.), 1986] (см. в особенности гл. 6 «Нечеткая логика и приближенные рассуждения»). Прояснению природы нечетких множеств типа 2 и того, как можно их использовать, посвящена статья [Mendel and John 2002]. См. также обзор [Mendel 2007] и мо­нографию [Castillo and Melin 2008].

В большинстве случаев термин «нечеткая логика» стал сино­нимом «теория нечетких множеств». Зачастую под системой нечет­кой логики понимается описание сложных процессов, природа ко­торых не может быть аппроксимирована традиционными математическими методами, а если и можно это сделать, то весьма сложным образом.

(Обратим внимание на то, что явным недостатком нечеткой логики Заде, осно­ванной на теории нечетких множеств, является то, что истинностные значения приписываются высказываниям посредством априорно заданных μ-функций. В связи с этим обратим внимание на ДСМ-метод автоматического порождения гипотез (активно развиваемый с начала 80-х годов; см. [Аниюков (ред.), 2009]), где истинностные значения конструктивно определяются посредством правил правдоподобного вывода для индукции и аналогии.)

Однако возникает на самом деле логическая проблематика: как можно делать выводы на основе данных, не являющихся «чет­кими»? В этом случае человек имеет дело с прыблиэюенными рас­суждениями. В курсе лекций «Основы нечетких множеств» (Интернет-Университет, 2006) говорится: «Приближенные рассуждения лежат в основе способности челове­ка понимать естественный языкв общем, принимать решения в сложной и не полностью определенной среде. Эта способность рассуждений в качественных, неточных терминах отличает интел­лект человека от интеллекта вычислительной машины» (см. лекцию 10: «Теория приближенных рассуждений»).

Главным понятием теории приближенных рассуждений явля­ется композиционное правило вывода, введенное Л. Заде в 1973 г. (см.. [Заде 1974], а также [Круглое и Дли 2002]). Пусть U и V-два универсальных множества с соответственно. Пусть А и R — нечеткие подмножества множеств U иТогда композиционное правило вывода, введенное Заде в 1973 г., утверждает, что из нечетких множеств А и R следует нечеткое множество гдеесть операция композиции нечетких множеств. Если эту операцию распишем, то в общем случае получим сле­дующую формулу:

где * есть некоторая бинарная операция. Само правило получило название «sup-star композиции». Частным случаем этого правила является modus ponehs. Важным оказалось выяснить, что понимать под операцией * ? Оказалось, что этой операции соответствуют t-нормы (см. следующий раздел).

Заметим, что по аналогии с нечеткой логикой типа 1 вводятся нечеткозначные логические операции и обещается sup-star компо­зиция на случай нечетких множеств типа 2. Специально этот во­прос рассматривается в статье [Dubois and Prade 1979], но их фор­мула использует в качестве * только операцию min. Обобщенная формула для расширенной sup-star композиции в применении к не­четким множествам типа 2 была дана в статье [Karnik, Mendel and Liang 1999].

Однако строго о логической дедукции здесь говорить нельзя. Поэтому не случайно много усилий было потрачено на то, чтобы решить проблему импликации, т. е. выяснить, что является нечет­кой импликацией. Отметим только статьи [Mamdani and Sembi 1979] и [Fodor 1991], главу в книге [Klir and Yuan 1995] и моногра­фию [Baczynski and Jayaram 2008], а также книгу [Батыришн 2001], посвященную вообще операциям в нечеткой логике.

Как известно, в классической логике формулы и логически эквивалентны. Но мы уже знаем, что в К3,

являющейся простейшей моделью нечеткой алгебры типа 1, подобное определение импликации не является удовлетворительным: класс тавтологий пуст, а при двух выделенных значениях правило modus ponens не сохраняет тавтологичность. Импликация, опреде­ленная указанным образом, получила название S-импликации.

Проблемы, вызванные тем, что на самом деле надо понимать под нечеткой логикой (FL), сложности с логическими операциями и с дедукцией, а главное, огромное число пишущих людей о FL и не имеющих представления о самой логике, привело к дискуссии, вызванной статьей [Elkan 1993], где «доказывалось», что FL невоз­можна. Основная часть дискуссии отражена в специальном выпус­ке журнала "IEEE Expert " (1994).

В дискуссию пришлось вмешаться Л. Заде [Zadeh 1994], где он сделал разделение FL на два направления: в узком смысле и в широ­ком, смысле. В узком смысле FL — это логическая система, являю­щаяся расширением многозначной логики. Однако даже, для FL в узком смысле список основных операций очень отличается как по духу, так и по содержанию от списка основных операций для сис­тем многозначных логик. В ее широком смысле, который сегодня является преобладающим в использовании, FL равнозначна теории нечетких множеств. С этой точки зрения, FL в узком смысле явля­ется разделом FL в широком смысле. Примерно то же самое было сказано в статье 1998 г. (см. [Заде 2001]). К этой теме Заде вернется в предисловии к [Dubois and Prade (eds.), 2000], которое почти це­ликом посвящено разъяснению смысла термина «нечеткая логика». FL в ее широком смысле имеет четыре принципиальных аспекта: логический аспект, который по существу является FL в узком смысле; теоретико-множественный аспект, наиболее распростра­ненный и связанный с исходной работой Заде [Zadeh 1965]; аспект нечетких отношений и зависимостей, где центральным является понятие лингвистической переменной и понятие нечеткого прави­ла; эпистемический аспект. Также делается важное замечание, что FL в целом скорее дополняет, чем конкурирует с существующими логическими теориями.

Серьезный ответ на то, чем является FL в. узком смысле, был дан в монографии [Hajek 1998], где FL предстала в виде гильбертовских исчислений, а многозначная логика стала ядром или бази­сом FL в узком смысле. Более того, здесь показано, что средствами первопорядковой многозначной логики можно адекватно модели­ровать некоторые нечеткие правила (см. пример 7) или показывать, что некоторые правила FL не верны в системе многозначной логи­ки, что ставит под сомнение их правильность в FL. На это специ­ально также указывается в [Hahnle 2001: 333].