Дискретно-непрерывная математика (стр. 115 )

В [Anderson andBelnap 1962] установлено, что логики и

получаются из соответственно за счет добав-

ления к последним формулы С*.

Теорема 5. Множество формул является не-

зависимой аксиоматизацией

(i). Для доказательства независимости А используется мат­рица 1; для В1 матрица 7; для W матрица 4; для К1 матрица 5; для Х2 матрица 6; для С* матрица 3.

Заметим, что формула Х3 в матрице Ульрича не имеет места: р есть 2 , q есть 3 , r есть 0,

В результате имеем следующую булеву решетку импликативных логик [Карпенко 1999], если в качестве нуля возьмем логику

6. Некоторые полные пропозициональные логики

Теперь рассмотрим конструкцию для классической пропозицио­нальной логики TV.

Из работы Вайсберга [Wajsberg 1937] следует, что добавле­ние формулы 0 → р (где 0 является константой, интерпретируемой как ложь) к произвольнойдает TV, где отрицание опреде-

ляется стандартным образом:

Обозначим формулу 0→ р посредством N.

Теорема 6. Множество формул является неза-

висимой аксиоматизацией TV.

(i). Используются все матрицы из теоремы 4 и

Матрица 9

(ii).есть TV [Wajsberg 1937] (см. так-

же [Turquette 1966]).

Таким образом, Теорема 6 доказана.

Обратим внимание, что В', К, D, N есть аксиоматизация [Turquette 1963]. Отсюдаесть

Теперь мы можем построить решетку L(TV), где в качестве ну­ля решетки возьмем логику ВСК:

Из этой конструкции видно, что бесконечнозначная логика Лу-касевича имеет фундаментальное значение после классической логики TV.

Напомним, что логики TV иимеют хорошо известные ре­шеточные структуры: булеву решетку и решетку де Моргана соот­ветственно. Это является следствием того, что в импликативных фрагментах указанных логик имеет место

Как показано в [Torrens 1988], это только те логики, которые содержат аксиомы В, С, К, D. Поэтому возникает вопрос, как по­лучить другие полные (full) логические системы, т. е. с логическими связками Этот вопрос имеет смысл, так как в отличие

от TV и например, в интуиционистской логике Н, посредством нельзя определить

Поскольку в наших конструкциях появились полные логики, то определенные решеточные структуры можно добавлять к получен­ным импликативным (импликативно-негативным) логикам. На­пример, добавление к ' только решеточной структуры уже делает решетку дистрибутивной [Rasiowa 1974], а вместе с отрицанием мы получаем полную интуиционистскую пропози­циональную логику. Правда, это выглядит несколько искусственно и ниже мы увидим, как эта проблема решается за счет структурных правил.

7. Несколько замечаний о классификации логик

Подводя итог, можно сказать, что рассмотренные конструкции в виде решеток пропозициональных логик хорошо показывают взаи­моотношения между различными логиками и то, какое место они занимают по отношению к классической двузначной логике TV.

Теперь выделим два основных принципа порождения импли­кативных логик и целых их классов:

1. В каждом случае нахождение нового Xi определяет раз­личные подлогики из множества

2. Ограниченная подстановка порождает целые классы подлогик в - конструкциях.

Тогда классификация импликативных логик в нашем понима­нии предстает в виде построения различных булевых решеток, с помощью которых можно порождать новые импликативные ло­гики.

Но, конечно, встает вопрос вообще о классификации логик. Здесь стоит согласиться с О. М, Аншаковым и [Анишков и Рынков 1984b], «что создание жесткой законченной всеобъемлющей классификации неклассических логик представля­ется задачей невыполнимой». Это уже следует из наличия континуальных классов самих логик. Поэтому классификация логик прово­дится относительно каких-либо «хороших» свойств, например, в классе всех суперинтуиционистских логик (см. выше раздел 8.2.3) выделяются класс конечно аксиоматизируемых логик, финитно ап­проксимируемых, с дизъюнктивным свойством и т. д. (см, [Кузне­цов 1975]).

В последнее время исключительное развитие получили под-структурные логики. Это такие логики, секвенциальная формулировка которых получается из генценовских исчислений LK (классической логики) и LJ (интуиционистской логики) за счет элиминации и/или ограничения различных структурных правил: утончения, сокращения и перестановки. Одной из первых работ в этой области является книга {Смирнов 1972]. В [Опо 1990] строится иерархия таких логик в виде куба, где в качестве исходного исчисления берется полное исчисление Ламбека FL (грубо говоря, это LJ без структурных правил). Интересной работой является [Battilotti and Sambin 1999], где вводится базисная логика В. Эта логика вообще не имеет структурных правил и может рассматриваться как «логика связок», из которой различные более богатые логики могут быть получены посредством добавления соответствующих структурных правил, В результате строится куб логик с наиболее сильной классической логикой. В этот куб также входят паранепротиворечивая квантовая логика, линейная логика Жирара, интуиционстская логика.

С другой стороны, алгебраическая логика является хорошим инструментом для выяснения такого сложного вопроса, как взаи­моотношение между различными логическими системами и, глав­ное, их классификация. Здесь в зависимости от свойств отношения конгруэнтности строится так называемая иерархия Лейбница [Font, Jansana and Pigozzi 2003] (см. выше раздел 4,5), Ометим, что обобщение этой иерархии приводит к алгебраической классифика­ции импликативных логик (см. [Cintula andNoguera2010]),

Что касается непосредственно многозначных логик, то первое, что напрашивается, - это классификация относительно их функ­циональных свойств. Классификация многозначных логик относи­тельно свойств аксиоматизируемости, предложенная в [Аншаков и Рынков 1984] (см. выше раздел 6.3), основывается именно на их функциональных свойствах:

• логики сигнатуры δ,

• расширение сигнатуры δ,

• все остальные.

Но такая классификация очень упрощает мир многозначных логик. И поэтому мы опять обратим внимание на два частных случая классификации. Это построение в [Ермолаева и Мучник 1979] девятиэлементной решетки расширений четырех­значной классической логики (см. выше раздел 5.4.3) и построение в [Томова 2010]

7-элементной решетки базовых трехзначных ло­гик, представляющих собой импликативные расширения регуляр­ных логик Клини.

(Напомним, что в [Финн, Апшаков, Григолия и Забежжайло 1980] перечислен и классифицирован в виде дерева класс трехзначных логик беетыопенноетнаго типа. Этот класс состоит из 10 логик (все с одним выделенным значением); со­ответствующие алгебры которых не слабее квази-решетки.)

Три из этих базовых логик выявлены впервые (см. выше раздел 3.9). При этом, если в первом случае к восьмиэлементной булевой решетке добавляется один элемент, то во втором случае из восьмиэлементной булевой решетки убирается один элемент, хотя внешний куб остается.

Все эти построения, и в особенности различные решетки и кубы логик, можно прокомментировать так, что логика превраща­ется в науку о конструкциях логик.

Литература

1. Булос Дж., Вычислимость и логика. М.: Мир, 1994.

2. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984.

3. , Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Физ.-мат. литература, 1995.

4. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. М., Мир, 1972.

5. Множества, логика, аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968.

6. , , Вводный курс математической логики. М.: МГУ, 1991

7. Справочная книга по математической логике / Под ред. Дж. Барвайза. Часть 1, Теория моделей. М.: Наука, 1982.

8. Интуиционизм. М., Мир, 1965.

9. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных функций. М.: Мир, 1983.

10. Математическая логика. М.: Мир, 1973.

11. Заметки по логике. М.: Мир, 1968.

12. Лекции о вычислимых функциях. М., Физматгиз, 1960.

13. Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. М.: Наука, 1983.

14. Модальная логика. М.: Наука

15. Van Benthem J. Essays in Logical Semantics. Studies in Linguistics and Philosophy. Dordrecht: D. Reidel Publishing Company, 1986.

16. Van Dalen D. Logic and Structure. Universitext. Springer-Verlag, 1994

17. Gamut L. T. F. Logic, Language, and Meaning. University of Chicago Press, Chicago, 1991

18. McCawley J. D. Everything that linguists have always wanted to know about logic. Chicago: University of Chicago Press. 1981.

19. Карпенко Лукасевича и простые числа. М.: Наука. 2000

20. Карпенко логика. М.: Наука. 2008

⨪