Дискретно-непрерывная математика (стр. 43 )

Другое дело, что логика Тr может служить пропозициональным базисом для новой аксиоматической теории истины, но не более того.

5.4.6.3. Конвенция Тарского и логический фатализм

Классическая операция эквиваленции такова, что формула в логике Тr не имеет места.

Поэтому введем новую операцию эквиваленции Определим импликацию следующим образом:

I

гдe, напомним,

Приведем табличное определение

Для этой импликации имеет место стандартная форма теоремы индукции.

Искомая операция эквиваленции определяется так:

В этом случае конвенция Тарского имеет место.

Как следствие определения импликацииполучаем, что

аристотелевский принцип необходимости здесь также ве-

рифицируем.

Отсюда верификация конвенции Тарского в виде пропозициональной формулынепосредственно ведет к тому, что фаталистический аргумент Аристотеля сохраняет свою силу, несмотря на введение в логику дополнительных истинностных значений. А это означает, что отбрасывание принципа бивалентности в общем случае не ведет к опровержению аристотелевского фаталистиче­ского аргумента (см. раздел 2.4). Таким образом, весьма распро­страненное мнение, что многозначная логика может быть исполь­зована против логического фатализма, несостоятельно.

Интересен также вопрос об аксиоматизации логики Тr с до­полнительной связкой Предполагаемый вариант: замена в ак­сиоматизации Тr связки (с предварительным её аксиомати­ческим заданием). Тогда аксиома (A3) редуцируется в аксиому

6. Аксиоматизация конечнозначных логик

6.1. Предыстория

Появление и развитие матричных п-значных логик Лукасевича и Поста поставили вопрос об их аксиоматизации, а затем возникла проблема аксиоматизации произвольной конечнозначной логики. По крайней мере, тривиальной аксиоматизацией является весь класс общезначимых формул данной матричной логики. Тогда воз­никает следующая проблема: можно ли для этого бесконечного класса формул найти конечный базис? Таким образом, по аналогии с классической логикой встал вопрос о доказательстве теоремы адекватности. Мы уже приводили отдельные примеры аксиомати­зации конечнозначных логик. Теперь подойдем к этому вопросу систематически.

Первые работы в этой области дают примеры гильбертовских исчислений тех или иных многозначных логик. Как уже говори­лось, трехзначная логика Лукасевича была аксиоматизирована Вайсбергом [Wajsberg 1931] (см. выше раздел 3.1). Однако со­всем не ясно, как этот способ аксиоматизации распространить на произвольное конечное число п. Правда, ему же принадлежит ак­сиоматизация произвольной n для случая, когда п-1 есть простое число. Как отмечается в Lukasiewicz and Tarski 1930, расширение этого результата на произвольное конечное п принадлежит А. Линденбауму. айсбергом [Wajsberg 1935] был предложен общий метод аксиоматизации широкого класса конечнозначных логик, куда входят также все п-значные логики Лу­касевича. Однако согласно этому методу должно выполняться следующее ограничение: каждая конечная нормальная матрица (напомним, матрица является нормальной, если она верифицирует правило МР) может быть аксиоматизирована, если в ней общезначимы следующие формулы:

Метод, предложенный Вайсбергом, является весьма громозд­ким и практически мало пригоден. Еще одно ограничение состоит в том, что предлагаются методы аксиоматизации только функцио­нально полных многозначных логик (см. [Sobocinski 1936] и [Sfypecki 1939]).

Другой метод гильбертовской аксиоматизации был разработан Дж. Россером и А. Тюркеттом [Rosser and Turqiiette 1952] и вклю­чает в себя в качестве исходного условия общезначимость следую­щих импликативных формул:

Кроме этого, здесь впервые было указано на обязательное на­личие в аксиоматизируемой логике J1-операторов:

Все эти условия выполняют, например, конечнозначные логи­ки Лукасевича. Этот метод имеет место также для произвольного числа выделенных значений и распространяется на предикатные многозначные логики. Подробно данный метод аксиоматизации на пропозициональном и предикатном уровнях рассмотрен в [Gottwald 2001].

Главным недостатком этого метода является то, что он содер­жит существенные ограничения на класс аксиоматизируемых n-значных логик.

6.2. Другие методы аксиоматизации

рётера [Schroter 1955] является первой работой, в ко­торой предлагается метод аксиоматизации произвольных конечнозначных логик без ограничений Россера-Тюркетта. Этот метод яв­ляется распространением генценовских секвенциальных исчисле­ний на системы конечнозначных логик. С различными модификациями секвенциальные построения были осуществлены в [Rousseau 1967] и [Baaz, Fermi'tller, Salzer and Zach 1998]. См. также [Takaha-shi 1967; 1968] и [Baaz, Fermilller and Zach 1994].

(Здесь следует также упомянуть простой метод аксиоматизации для пропози­циональных логик, предложенный [Попов 1979]. При этом необ­ходимым условием является наличие одноместных функций определяе­мых на множестве с единственным выделенным значением j:

)

В обзоре [Avron 2003] рассмотрены классические генценовские методы для пропо­зициональных многозначных логик (трехзначные логики, четырех­значные логики, n-значная логика Гёделя Gn, некоторые бесконечнозначные логики). В этих системах используются двусторонние секвенции, они допускают устранимость сечения и обладают свой­ством подформульности.

Большое развитие получили логические системы в виде гиперсеквенуий. Подобные системы являются обобщением генценовских секвенциальных систем и оказались подходящими для многих неклассических логик.

Гиперсеквенции являются мультимножествами секвенций (са­ми секвенции называются "компонентами")

где оператор | есть дизъюнкция на метауровне. Гиперсеквенция истинна в некоторой интерпретации, если, по крайней мере, одна из компонент истинна в этой интерпретации. Это обобщение по­зволяет таким системам использовать одно правило вместо много­кратного использования правил.

Впервые для конечнозначных логик гиперсеквенции были ис­пользованы А. Авроном [Avron, 1991]. См. также [Avron 1999]. Особенно они оказались удобными для аксиоматизации бесконеч-нозначных логик (см. окончание гл. 9).

После книги Р. Смульяна [Smullyan 1968] представление ис­числений в виде аналитических таблиц стало особенно популяр­ным и в скором времени было применено к многозначным логикам. По-видимому, первой работой здесь является статья С. Сурмы [Surma 1974], Значительное упрощение и усиление результатов С. Сурмы см. в [Carnielli 1987; 1991]. См. также книгу [Hahnle 1993].

Применение метода секвенциальных исчислений и аналитиче­ских таблиц к аксиоматизации многозначных логик рассмотрено

также в [Gottwald 2000]. В [Hahnle andEscalada-Imaz 1997] содержится обзор различных теоретико-доказательных методов, в том числе и для бесконечнозначных логик. Продолже­нием является работа [Baaz, Fermilller and Salzer 2001], на которую следут обратить особое. внимание. Кроме всего прочего, здесь предлагается классификация различных видов систем дедукции, дается характеризация кнечнозначных логик средствами классиче­ской логики предикатов, отдельно рассматривается класс конечно-значных предикатных логик.

В [Комендантский 2003] исследуется теория вывода, основан­ная на теореме представления для алгебр истинностных значений многозначных логик, а также построено исчисление резолюций для всего класса конечнозначных логик поста Рп.

6.3. Метод Аншакова-Рычкова

В заключение мы обсудим один метод ак­сиоматизации конечнозначных логик. В целом ряде работ и [Аншаков и Рынков 1982; 1984] предложили простой алгоритм аксиоматизации конечно­значных логик, в том числе и произвольных. В основе лежит идея , использованная им при аксиоматизации трехзначной логики Бочвара В3 [Финн 1974] и обобщенная на п-значный случай Вп в [Григолгш и Финн 1979], которая заключается в том, что при аксиоматизации применяются два вида переменных: "внутренние" и "внешние". При этом внешние переменные оцениваются класси­ческим множеством истинностных значений {1, 0}. Тогда главной особенностью метода Аншакова-Рычкова является то, что предло­женная гильбертовская аксиоматизация конечнозначных логик представляет собой расширение аксиом классической (первопорядковой) логики.