Дискретно-непрерывная математика (стр. 68 )

В свою очередь, отсутствие какой-либо интуитивно приемле­мой семантики, в том числе семантики Крипке для иерархии Сп, привело к изобретению в [Carnielli 1990] (см. также [Carnielli 2000]) так называемой «семантики возможной переводимости» (possible-translations semantics). Важность ее заключается в том, что для логик, не имеющих конечной характеристической матрицы, можно представить адекватный конечный подкласс конечных мат­риц. Другими словами, исходная логика «разлагается» на несколь­ко простых конечнозначных логик. В случае систем Сп и их вари­антов (см. [Carnielli 2000]) достаточно взять фрагменты трехзначной паранепротиворечивой логики J3. Самое интересное то, как отмечается в этой статье, что «семантика возможной переводимости может рассматриваться как обобщение семантики Крипке, в которой мы имеем миры совершенно различной приро­ды».

8.7. Другие бесконечнозначные логики

Рассмотрение этой темы будет продолжено в следующей главе, ко­гда мы обратимся к нечетким логикам в узко-логическом смысле, и тогда опять появятся логики и родственные им. Здесь же только отметим логики, связанные со спецификацией множест­ва истинностных значений, как это уже было сделано в начале этой главы в связи с расширениями а также обратим внимание на тему комбинирования различных логик.

8.7.1. Обобщение логики Поста Рп

'

В [Rescher 1969] отмечается, что непосредственное обобщение ло­гики Рп (см. выше раздел 5.2.1) на бесконечнозначный случай, как это было сделано с не имеет успеха, поскольку класс тавтоло­гий пуст. Поэтому пошли по пути обобщения понятия алгебры По­ста.

Наиболее важной работой здесь является статья [Rasiowa 1973], в которой вводятся алгебры Поста порядка и соответст­вующие системы бесконечнозначной (предикатноой) логики. Под (или

ω+ 1) понимается порядковый тип множества натуральных чисел, дополненных наибольшим элементом ∞, т. е. множество

Теорема представления для таких алгебр доказана в [Malcsimova and Vakarelov 1974] и ими же в [Maksimova and Vakarelov 1974] вводится адекватная семантика типа реляционной для соответствующих исчислений. Другой вид обобщения на бесконечнозначный случай соответствует алгебрам Поста порядка (см. [Epstein and Rasiowa 1990; 1991]). Здесь множество элементов упорядочено следующим образом:

Обратим внимание, что впервые подобное множество истинно­стных значений было введено в [Карпенко 1985] при построении логики (см. ниже раздел 10.7.1).

8.7.2. Предельные и непрерывные логики

В счетнозначных и континуумзначных логиках особую роль игра­ют различные их подклассы (см. [Кудрявцев 1982: 720]). Таковыми являются в первом случае предельные логики, а во втором - непре­рывные логики. Предельные логики представляют собой счетные замкнутые классы функций из содержащие гомоморфные про­образы всех конечнозначных функций. Существует континуум раз­личных предельных логик. Мощность множества предполных классов в предельных логиках может быть равной любому нату­ральному числу, а также быть счетной или континуальной (см. [Деметрович 1975]).

Естественно, что проблемы, возникающие при изучении функ - циональных свойств бесконечнозначных логик, становятся гораздо сложнее. Для счетнозначных логик установлена гиперконтинуалъностъ множества всех предполных классов и найдено

решение о полноте систем, содержащих множествовсех одно­местных функций [Гавршов 1965]. А. Саломаа [Salomaa 1963] по­казал, что существует континуум штрихов Шеффера ви, с дру­гой стороны, доказал, что бесконечнозначная логика Лукасевича не имеет штриха Шеффера (напомним, что для штрих Шеф­фера построен).

В непрерывных логиках в качестве логических операций вы­ступают непрерывные функции. Специальный ее вариант положен в основу общей теории моделей для бесконечнозначных предикат­ных логик [Chang and Keisler 1966] по аналогии с тем, как была развита теория моделей на основе классической двузначной логи­ки. Здесь же приводятся примеры непрерывных логик, например, логика предикатов

Заметим, что в [Волгин и Левин 1990] (см. также [Левин 2006] и, в особенности, [Левин 2008]) под непрерывной логикой понима­ется всякая бесконечнозначная логика с непрерывном отрезком множества вещественных чисел. Рассмотрены различные обобще­ния и многочисленные применения. Аппарат непрерывной логики эффективно используется в исследовании структурно-сложных ин­формационных и управляющих систем. Отметим также, что уже не раз упоминавшаяся работа Р. Мак-Нотона [McNaughton 1951] яви­лась одной из первых в этой области.

8.7.2.1. Неархимедова логическая многозначность

Интересным современным примером непрерывных логик являются неархимедовы логики, что связано с отрицанием аксиомы фундиро-ванности.

Нефундированная теория множеств принадлежит к аксиома­тическим теориям, в которых не выполняется правило регулярно­сти (другое название - правило фундированности (well-founctedness)), например, в данной теории допускается, чтобы мно­жества содержали самих себя: или в иной записи: см. подробнее в [Aczel 1988]. Нефундированные множества неявно используются в нестандартном (более точно, неархимедовом) ана­лизе, а именно в анализе бесконечно малых и р-адическом анализе. Дело в том, что отрицание аксиомы регулярности (фундированности) в числовых системах подразумевает задание неархимедово упорядоченной структуры. Напомним, что аксиома Архимеда зву­чит так: для любого положительного вещественного числа у суще­ствует позитивное целое число п, такое что или Не­формальный смысл аксиомы Архимеда состоит в утверждении, что все может быть измерено линейкой. Отрицание Архимедовой аксиомы влечет за собой существование бесконечно больших чисел (в случае поля гипервещественных чисел это означает дополни­тельно существование бесконечно малых чисел (инфинитезималей)).

В серии своих статей (см., например, [Schumann 2007; 2008]) предложил использовать нестандартный логический язык, в котором множество формул определялось бы не с помощью индукции, а посредством коиндукции — операции, двойственной индукции (см. [Bartels 2003]). Такое множество формул может быть полным относительно своих интерпретаций во множестве [*0, *1] гипервещественных чисел или множестве Zр целых p-адических чисел. Таким образом, Шуман предложил эффективный метод по­строения совершенно новых логических языков, для которых син­таксические объекты, семантические объекты и деревья доказа­тельств не соответствуют теоретико-множественной аксиоме фундирования. На практике это означает, что данные языки изна­чально соответствуют нецентрализованным массово-параллельным вычислениям. Поэтому могут использоваться при дизайне массово-параллельных вычислений, а также при разработке их семантики. Вполне естественно, поэтому, что у языков Шумана наблюдаются более богатые выразительные возможности, чем у других логиче­ских языков.

8.7.3. Логики со свойствами других логик

Мы сознательно не употребляем здесь термин «комбинированные логики» (combining logics), широко используемый в литера­туре и предполагающий различные комбинации и рекомбинации семантических структур и дедуктивных исчислений, как одной и той же, так и различной природы (см. обзор в [Carnielli and Coniglio 2007]), а также первую монографию [Carnielli, Coniglio, Gabbay, Gouveia and Sernadas 2008]. Относительно паранеротиворечивых логик мы указывали на семантику возможной переводимости в разделе 8.6.3.1. Заметим только, что на самом деле первые случаи (простейшие) комбинирования логик, а именно умножение друг на друга (различных) логических матриц, отмечены нами в конце раз­дела 4.3.1.

Здесь же мы рассмотрим идею построения бесконечнозначных модальных логик с использова­нием аппарата многозначной логики, некоторые аналогичные по­строения и проблему дуальности между логиками.

8.7.3.1. Многозначные модальные логики

Вспомним интерпретацию модальной логики S5 посредством бесконечного множества 1-0-последовательностей [Prior 1957] (см. выше раздел 8.4.2). Новая идея Прайора состояла в том, что в качестве множества истинностных значений можно взять множество бесконечных 1-2-0-последовательностей, где на­ряду с 1 — «истина» и 0 — «ложь» входит также истинностное зна­чение 2 — «неопределено» [Prior 1957]. Тогда проблема состоит в выборе покомпонентных операций над этими последова­тельностями. Если в случае системы S5 Прайором используется классическая двузначная логика С2, то здесь принята трехзначная слабая логика Клини но с двумя выделенными значениям (см. выше раздел 3.4.2). На таких последовательностях определяются модальные операторы возможности и необходимости, причем 1-2-0-последовательность не может начинаться с 2. Полученную сис­тему Прайор назвал логикой «случайного бытия» (см. [Prior 1967]), обозначив ее посредством Q.