Дискретно-непрерывная математика (стр. 69 )

В силу того, что модальные операторы здесь не являются ду­альными друг к другу, как во всех рассмотренных выше модальных системах, то семантика и аксиоматизация системы Q (гильбертовская аксиоматизация представлена в [Bull 1964]) довольно-таки сложны. Система Q является нестандартной модальной логикой, поскольку было показано, что Q содержится в S5, но не является консервативным расширением S4.

Cистема Q вызывает к себе повышенный ин­терес. В [Correia 2001] и [Аката and Nagata 2007] построена се­мантика Крипке для Q такая, что в каждом возможном мире дейст­вует не двузначная логика С2, а трехзначная логика В [Аката, Nagata and Yamada 2008] система Q расширяется временными опе­раторами, на возможность чего уже указывал Прайор, и рассматри­вается как подходящая логика для оперирования с будущими слу­чайностями.

К. Сегерберг [Segerberg 1967], исходя из идей А. Прайора при построении последним системы Q, перестраивает льюисовские мо­дальные системы таким образом, что они являются расширением его же трехзначной логики бессмысленности, т. е. логики Бочвара

В3, но с двумя выделенными значениями (см. выше раздел 3.3.3). В [Schotch, Jensen, Lars en and Maclellan 1978] строится модальная логика К на основе трехзначной логики Лукасевича т. е. аксио­матизация для расширяется аксиомами К, и для такой логика строится семантика Крипке, в каждом мире которой действует ло­гика В [Morikawa 1989] этот результат обобщается и расширя­ется на модальные логики В [Ostermann 1988] строятся модальные логики основанные на п-значной логике Лу­касевича и с семантикой Крипке, в которой каждый возможный мир ассоциируется с а в [Oriowska and Iturrioz 1999] каждый возможный мир ассоциируется с алгебрами Лукасевича.

[Thomason 1978] обобщает такой семантический подход, т. е. строит крипковскую семантику для модальных логик на случай, когда оценка задается на произвольном множестве ис­тинностных значений. См. также [Priest 2008].

Однако, как отмечается в [Hdhnle 2001], возможно и об­ратное направление, от модальной логики к многозначной. Любая модальная логика с множеством возможных миров W и отношени­ем достижимостиможет быть переинтерпретирована в

2w-значную логику посредством кодирования интерпретации с возможными мирами как многозначной интер­претации где ∑ есть множество пропозициональных пе­ременных. Для модальных логик со свойством финитной аппрок­симируемости эта конструкция дает систему с конечнозначной теорией доказательств, характеризующей эти модальные логики [Caferra and Zabel 1990].

О комбинировании модальной и многозначной логики см. так­же в [Gottwald 2001].

Добавим также, что в качестве основания для модальных логик могут быть взяты другие неклассические логики. Наиболее разра­ботанным подходом являются интуиционистские модальные логи­ки (см. об этом в обзоре [Zakhaiyaschev, Wolter and Chagrov 2001], a также раздел 2.4 в книге [Шкатов 2008]. Одной из первых работ в этой области была статья [Bull 1965].

В заключение обратим внимание на еще одно разветвленное направление в области бесконечнозначных логик — это интуицио­нистские многозначные логики. Отметим только работы [Baaz and Fermilller 1996], где модель Крипке для Int обобщается на случай многозначных оценок, и [Reznik and Curmin 2001]. Укажем еще

статью [Аншаков 1983], где производится конст-руктивизация трехзначных логик Бочвара В3 и Холдена Н3. Одним из основных условий конструктивизации является наличие дизъ­юнктивного свойства (см. выше раздел 8.2.2) в новой логике.

8.7.4. Дуальность интуиционистских и паранепротиворечивых логик

С подобными дуальными логиками мы уже встречались. Это по­строенная нами трехзначная паранепротиворечивая логика Брауэра G3 (см. раздел 3.2.1), дуальная к трехзначной логике Гейтинга G3, a также слабая интуиционистская логика I1, дуальная к трехзнач­ной паранепротиворечивой логике Сетте Р1 (см. раздел 3.5.4.1).

Известно, что интуиционистская логика Int может быть по­строена в виде секвенциального исчисления, с теми же правилами вывода, что и классическая логика, но с одним ограничением: сукцедент секвенции не может содержать более одной формулы. Мы получим систему, дуальную к Int, если потребуем, чтобы в отличие от классического случая, антецедент секвенции содержал не более одной формулы.

Наверное, первая работа на эту тему принадлежит Дж. Чермаку [Czermak 1977], который сформулировал логику, дуальную Int, в терминах конъюнкции, дизъюнкци и отрицания. В такой логике не имеет места секвенция вида В [Goodman 1981] добав-

ляется связка псевдоразности и пропозициональная константа Т. В этой работе используется понятие алгебры Брауэра, дуальной к алгебре Гейтинга (см. выше раздел 4.4.2), для того чтобы принять адекватную топологическую семантику для нового исчисления. В [Смирнов 1984] (см. также [Смирнов 1987]) исчисление Гудмана несколько переформулируется и, что важно, предложены секвенциальные формулировки релевантной логики, т. е. построе­ние дуальной Int связывается с релевантными логиками. В [Urbas 1996] предлагаются различные секвенциальные дуальные форму­лировки Int, и в итоге возникает вопрос, какая на самом деле паранепротиворечивая логика дуальна к Int? Понятно, что общим для всех дуальных к Int логикам является наличие закона исключенно­го третьего.

Этот вопрос и много других обсуждается в статье [Bnmner and CarmeJH 2008]. Здесь строится дуальное к Int гильбертовское исчисление и для него семантика Крипке, которая является в точности дуальной к приведенной нами в разделе 8.2.2.1. В этой работе обобщаются идеи из [Urbas 1996] и развивается общий подход к дуализации логик.

(Интересна философская интерпретация такой семантики. Теперь вместо усло­вия сохранности истинности постулируется условие сохранности ложности. Если нечто на данном этапе исследования признается за ложное, то с прогрес­сом познания оно никогда не может стать истинным.)

Строятся две основные иерархии антиинтуиционистских ло­гик. Первая называется иерархией антиконструктивных логик (АС-иерархия). Вторая называется иерархией анти-параполных ло­гик (АP-иерархия). АС-иерархия начинается с дуального исчисле­ния логики Йохансона J (см. выше раздел 8.6), через дуальную Int, и заканчивается дуальными исчислениями Gn, в том числе строит­ся логика дуальная к логике Гёделя—ДаммитаПоказывает­ся, что ни одна из известных паранепротиворечивых систем, в том числе рассмотренных нами не является членом этой иерархии. Таким образом, анти-конструктивные логики составляют новый класс паранепротиворечивых логик.

Вторая иерархия начинается с паранепротиворечивой логики Сетте Р1 и, применяя общую процедуру дуализации параполных логик Iп, получается иерархия паранепротиворечивых логик Рп. Здесь важно то, что по аксиоматизации логик из одной иерархии, строится дуальная аксиоматизация логик из другой иерархии, и на­оборот. Заметим, что теперь мы можем объединять две дуальные логики в одну, как это было сделано в [Rauszer 1977; 1980], где объединены логика Гейтинга и логика Брауэра и для такой логики строится семантика Крипке.

В итоге ставится глубокий философский вопрос о значении дуализации логик, а также вопрос о дуализации других систем ло­гики.

9. ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ И НЕЧЕТКИЕ ЛОГИКИ

9.1. Введение

С выходом статьи Л. Заде «Нечеткие множества» [Zadeh 1965] на­чинается исключительно бурное развитие новой теории, предна­значенной для изучения и анализа систем, в которых основная роль принадлежит суждениям и решениям человека. Такие системы Заде называет «гуманистическими», и к ним относятся психология, со­циология, политические науки, философия, экономика, лингвисти­ка, операционные исследования, наука управления, физиология и вообще все те системы и процессы, на поведение которых сильное влияние оказывают действия, решения, суждения, эмоции людей. Поскольку эти системы связаны с принципиально нечетким (раз­мытым, расплывчатым) характером человеческих рассуждений (и тем более психики), то сама новая теория получила название «тео­рии нечетких множеств», являющейся обобщением обычной (чет­кой) теории множеств.

Нечеткая логика, основанная на нечеткой теории множеств, позволяет определять промежуточные значения между стандарт­ными оценками («истина/ложь», «да/нет», «верно/неверно», «хо­лодно/тепло» и т. д.). Оказывается, что понятия «теплее/холоднее» можно сформулировать математически и обработать на компьюте­ре. В этом случае нечеткая логика является попыткой применить в программировании человекоподобное мышление.