Дискретно-непрерывная математика (стр. 88 )

1) тогда 2-е неравенство выполняется тождественно, и решением яяляется 1-е неравенство, распадающееся на пару неравенств

(1.103а)

или

(1.103б)

2) а > b, тогда система имеет решение т. е.

(1.103в)

Заметим, что из трех данных решений неравенства (1.102), а именно, (1.103а) - (1.103Зв) лишь одно (1.103а) не зависит явно от параметров а и b.

1.8. Уравнения и неравенства бесконечнозначной логики с отклоняющимися аргументами

Определение 1.10. Уравнением БЛ с отклоняющимися аргументами на­зывается уравнение вида

(1.104)

где F и L — заданные функции БЛ (вообще говоря, различные);

— вектор параметров; — вектор отклонений; — вектор неизвестных.

При этом и лежат в заданном замкнутом и ограниченном интервале множества всех вещественных чисел. (По аналогии с § 1.5 в случае отсутствия в выра­жениях F и L операции отрицания БЛ можно принять

Частным (общим) решением уравнения (1.104) называется любой век­тор (совокупность всех векторов) х, для которого равенство (1.104) справедливо.

Отметим, что практически встречаются также уравнения, в которых операция сдвига на р выполняется не над самими неизвестными, как в (1.104), а над некоторыми функциями БЛ от них. Однако такие уравнения можно легко свести к типу (1,104). Для этого используются доказанные§ 1.3 соотношения (1.37), (1.38), (1.61), имеющие в данном случае вид

(1.105)

и позволяющие последовательно переносить операцию сдвига с функции на аргументы. Например,

Определение 1.11. Неравенством БЛ с отклоняющимися аргументами называется неравенство, получаемое из (1.104) заменой знака на или

Определение 1.12. Системой уравнений и неравенств БЛ с отклоняющи­мися аргументами называется совокупность рассматриваемых совместно конечного множества уравнений и конечного множества неравенств этого класса (одно из двух множеств может быть пустым).

Введенный класс уравнений и неравенств появляется при изучении систем, обладающих внутренней инерционностью (задержками).

Классификация уравнений и неравенств БЛ с отклоняющимися аргу­ментами подобна соответствующей для обыкновенных уравнений БЛ. Прежде всего выделяем уравнение с одним неизвестным (в (1.104)

п = 1) и с несколькими неизвестными (п ≥ 2). Далее, так как F и L — функции БЛ, по теореме 1.1. уравнение (1.104) можно представить в канонической форме с правой и левой частями в ДНФ, что позволяет разделять уравнения с отрицаниями и без отрицаний неизвестных и т. д.

Неравенства БЛ с отклоняющимися аргументами классифицируются так же, как и уравнения. Системы уравнений и неравенств БЛ с отклоняю­щимися аргументами классифицируются подобно системам обыкновен­ных уравнений и неравенств БЛ ( § 1.5).

Заметим, что при изучении реальных систем, как правило, приходится иметь дело только с уравнениями, которые не содержат операции отрица­ния БЛ. Для решения этих уравнений используем метод последователь­ного расчленения (§ 1.6)

1.9. Проблема полноты в бесконечнозначной логике

Проблема полноты в БЛ по своей формулировке аналогична проблеме полноты для двузначной и К-значной логик.

Определение 1.13. Система функций БЛ называется

полной (базисом) в классе R, если любую функцию из R можно предста­вить суперпозицией функций Базис называется минималь­ным, если удаление хотя бы одной из его функций fi превращает систему функций в неполную.

В отличие от конечнозначных логик, где в качестве R рассматривают класс всех логических функций от п аргументов, а объектом поиска явля­ются различные возможные базисы, в БЛ обычно задается та или иная система функций и ищется класс R всех функций непрерывных переменных, для которого эта система есть базис. Основные результаты, полученные в этой области к настоящему времени, заключены в следующих теоремах.

Теорема 1.2. Система функций является базисом для класса Rc

всех тех и только тех функций БЛ, которые сохраняют значение одного из своих аргументов.

Теорема 1.3. Система функций является базисом для класса R′c всех тех и только тех функций БЛ, которые сохраняют значения одного из своих аргументов или его отрицания.

Введем функцию включения БЛ по формуле

(1.106)

где (1.5).

Теорема 1.4. Система функций является базисом для клас-

са Rn всех функций от п переменных вида

(1.107)

где А из (1 4), М из (1.5), а коэффициенты - произ­вольные целые числа.

Теорема 1.5. Система функцийявляется базисом для клас­са R'π всех тех и только тех функций F от п переменных xi, которые удов­летворяют двум условиям: 1)функции F однозначны, непрерывны и при 2) существует конечное мно­жество линейных форм с целочисленными

коэффициентами такое, что для любого набора , где значение F совпадает со значением одной из форм.

Фигурирующие в теоремах классы функций непрерывных переменных с математической точки зрения весьма узки. Поэтому синтезировать устрой­ства, реализующие все практически встречающиеся функции непрерывных переменных с помощью элементов, реализующих базисные операции БЛ и т д.), вряд ли возможно. Вместе с тем базисные операции БЛ адек­ватно отражают элементарные операции, происходящие во многих реаль­ных системах. Благодаря этому аппарат БЛ может быть успешно применен для изучения таких систем.

Впервые основные положения БЛ введены в статье Р. Мак-Нотона в 1951 г. Последующее развитие БЛ, вплоть до конца 60-х годов, было связано в основном с практическими потребностями представления и ге­нерации функций одной или нескольких переменных. Соответствующие результаты собраны . Определенное развитие в этот период получила БЛ в связи с задачами аналитического описания сложных геометрических объектов () и моделирования деятель­ности нейронных структур при распознавании образов (). К начале 70-х годов исследователи стали активно изучать свойства функций БЛ с целью их применения при проектировании цифровых автоматов и в задачах повышения надежности аналоговых устройств. В частности, были введены уравнения БЛ и методы их решения. И лишь к концу 70-х годов появились первые работы по применению БЛ к сложным системам.

2. Порядковая логика и порядковые логические определители

2.1. Вводные замечания

При построении БЛ в качестве базовых операций фигурировали выделе­ние максимального (дизъюнкция) и минимального (конъюнкция) из не­скольких элементов. Практические потребности часто приводят к необхо­димости более общих построений, когда нужно использовать выделение про­извольного порядкового элемента из заданного множества. Эти новые пост­роения составляют основу порядковой логики. БЛ и порядковая логика являются адекватным математическим аппаратом при изучении многих сис­тем. Однако этот аппарат не учитывает проблемы размерности системы. Для решения этой проблемы целесообразен переход от детального описания сис­темы к блочному, укрупненному описанию. Подобный подход широко при­меняется в теории линейных систем, где функции блочных параметров вы­полняют соответствующие матрицы. Однако для решения нашей задачи мат­ричное исчисление непригодно, поскольку, как будет видно дальше, изучае­мые здесь системы нелинейны. Поэтому возникает необходимость дальней­шего развития математического аппарата БЛ и порядковой логики с целью получения возможности блочного описания систем. Элементарными поня­тиями являются понятия квазиматрицы и ее числовой характеристики — ло­гического определителя, которые для изучаемых нелинейных систем играют ту же роль, что и обычная квадратная матрица с ее определителем для линей­ной системы. Вводимые порядковые логические определители позволяют решать проблему размерности при изучении тех систем, моделью которых служит автомат с дискретными состояниями и непрерывным временем.