Дискретно-непрерывная математика (стр. 76 )

9.4.5. Расширения t-логик новыми связками

Большую известность приобрела логика Павелки [Pavelka

1979], которая является расширением логики Лукасевича по­средством введения в пропозициональный язык бесконечного числа логических констант вида r для каждого рационального числа r Предикатная версия определяется аналогичным об-

щазом. В логике RPL можно определить градуированную (graded) истину с помощью Наличие в языке констант подобного

вида используется при доказательстве теорем о полноте для целого класса логик (так называемый метод Павелки, упрощенный в [Hаjek 1998]). В [De Baets, Esteva, Fodor and Godo 1999] аналогичным образом расширяется логика Гёделя—Даммита

Фундаментальным расширением стандартного языка t-логик является добавление унарной пропозициональной связки (о ее свойствах см. в разделе 8.3.1.1). В [Hаjek 1998] аксиомы -(5)

добавляются к BL. О некоммутативных t-логиках см. в [Hаjek2003]. Другие обобщения t-логик и их недавние применения см. в Gottwald 2007].

. Наконец, сделаны обобщения обычных t-норм на случай

интервально-значных нечетких множеств [Gehrke, Walker С. and Wаlker E, 1996] и на случай нечетких множеств типа 2 (см. [Walker С and Walker E. 2006]).

10. Истинностные значения: интерпретация

многозначных логик

Почти после столетнего развития многозначной логики появилась необходимость в прояснении того, что сейчас понимается под ис­тинностными значениями? В 2008 г. в Институте философии Дрез­денского Технологического Университета состоялась Междуна­родная школа, посвященная проблематике истинностных значений. Приглашенные доклады опубликованы в двух специальных выпус­ках журнала "Studia Logica", 2009: 91(3) и 92(2). См. предисловие [Shramko and Warning 2009] редакторов этих выпусков. Наконец, Г. Ванзингом и Я. Шрамко и готовится фундаментальная работа под названием «Истинностные значения» для Стэнфордской Фи­лософской Энциклопедии.

Все это весьма примечательно и даже выглядит интригующе, поскольку вопрос о том, что представляют собой истинностные значения в многозначных логиках, все равно остается проблемой номер один. Некоторый обзор по данной проблематике на конец 80-х годов прошлого века был дан в [Карпенко 1989с]. А уже после того, когда была принята некоторая концепция истинностных зна­чений, предложена сама интерпретация многозначных логик, полу­чившая название «фактор-семантики» [Karpenko 1983].

10.1. Фиксация проблемы

Бесконечное разнообразие реального мира требует бесконечного разнообразия его моделей, примерами которых также служат мно­гозначные логики. Появляются новые, все более необычные при­меры как отдельных логик, так и целых классов логических систем. Поэтому вопрос об интерпретации многозначных логик становится все более актуальным, и не случайно поэтому обзоры по много­значной логике [Rose 1981] и [Urquhart 1986] заканчиваются имен­но этой темой; а проблема интерпретации истинностных значений является центральной и, видимо, сложнейшей проблемой для тео­рии многозначных логик. В обзоре [Hdhnle 2001] раздел 2.5 назы­вается «Каково смысловое значение истинностных значений?» Здесь в примечании 9 автор предлагает вообще не говорить об ис­тинностных значениях, а только о значениях.

Суть последней проблемы была сформулирована еще 3. Иорданом: «Без интерпретации приписывания определенного логического значения числу п "истинностных значений" любое п-значное исчисление остается абстрактной структурой» [Jordan 1945]. Как мы уже знаем, в качестве истинностных значе­ний используются натуральные числа, рациональные, действитель­ные (могут быть комплексные), отрицательные и т. д. Специально теме истинностных значений впервые была посвящена статья {Зиновьев 1959], развивающая некоторый философ­ский подход. Может показаться удивительным, что, несмотря на то исключительное развитие, которое получили многозначные логики Лукасевича, вопрос об интерпретации истинностных значений в этих логиках все еще обсуждается в литературе. Вот что пишет по этому поводу Данна Скотт: «Перед тем, как вы при­мете многозначную логику как долгожданного брата, попробуйте понять, что могут означать дробные истинностные значения. И имеют ли они какой-либо смысл? Каково концептуальное подтвер­ждение "промежуточных значений"» [Scott 1976]. Остается также неясным, отмечает Д. Скотт, обоснование логических опе­раций в Ln. В [Da Costa, Beziau and Bueno 1996] указывается, что «фундаментальная проблема относительно многозначности - узнать, что она в реальности означает».

В монографии [Bole and Borowik 1992] ограничились лишь замечанием, что вопрос об истинностных значениях затруднителен, зато в монографии [Gottwald 2001] сделано несколько конструк­тивных предложений. Здесь отмечается, что если подходить фило­софски, то не очевидно, как интуитивно интерпретировать эти (до­бавленные) истинностные значения. Чтобы избежать путаницы с классической двузначной логикой, предлагается в случае с много­значной логикой говорить о степенях истины и использовать вы­ражение «истинностные значения» только для классической логи­ки. При этом выделяются два совершенно отдельных аспекта:

• отрицательный аспект, поскольку не имеется никакого ес­тественного понимания (значения) степеней истинности;

• положительный аспект, поскольку можно свободно интер­претировать степени истинности в зависимости от соответ­ствующего применения многозначной логики.

Делается также важное замечание о возможности "редукции" сте­пеней истинности к стандартным истинностным значениям Т (ис­тина) и F (ложь). Этот вопрос будет рассмотрен нами специально, в

частности, в виде ответа Д. Скотту, как можно проинтерпретиро­вать дробные истинностные значения в многозначных логиках Лукасевича.

10.2. Логический мир Г. Фреге: два истинностных значения

Однако, как это ни покажется странным, проблемы возникают уже для самих классических истинностных значений: Т (истина) и F (ложь). Как отмечает А. Чёрч [Чёрч I960, примечание 67], впервые в явном виде два истинностных значения встречаются у Ч. Пирса в 1885 г. Г. Фреге впервые использовал истинностные значения в 1891 г., а в статье [Фреге 1977], относящейся к 1892 г., был сформулирован взгляд на высказывания как на имена истинно­стных значений. Это приводит к тому, что истинностными значе­ниями являются два объекта, один из которых называется «истина», а другой — «ложь», и этими объектами оцениваются высказывания. Философские истоки такого подхода рассмотрены в [Gabriel 1984].

В последнее время оживилась дискуссия относительно теории истинностных значений Фреге, основным возражением против ко­торой было то, что они постулируют абстрактные объекты типа истинностных значений. Отсюда, например, все истинностные вы­сказывания имеют один и тот же денотат, как, впрочем, и все лож­ные. Но что тогда является смыслом высказывания? На этот вопрос пытались дать ответ многие работы, например [Ray 1979], [Sengiipta 1984], [Sutara 1982], в последней из которых предлага­ется считать денотатами (т. е. истинностными значениями) выска­зываний положения дел. Тогда положения дел, соответствующие любым двум истинным высказываниям, различны, а значит, выска­зывания имеют различный смысл. Также в [Barwise and Perry 1981], где разрабатывается "ситуационная семантика", не принима­ется существование одного и того же денотата для всех истинных предложений. Однако, заметим, для истинностно-функциональной семантики различие в смыслах является несущественным и им можно пренебречь.

Обратим также внимание на статью [Bezian 1999] и в особенно­сти на работу Я. Шрамко [Шрамко 2009]. В последней дается глу­бокий философский анализ феномена введения в логику двух абст­рактных объектов «истина» и «ложь» и высоко оцениваются последствия этого для развития современной логики.

Итак, существует два фундаментальных абстрактных объекта «истина» и «ложь» (наряду с числами, геометрическими фигурами, классами), которые образуют логический мир Фреге. Этот мир наи­более изучен (начиная с работ самого Г. Фреге, А. Уайтхеда и Б. Рассела), понятен, и два классических истинностных значения не вызывают никакого сомнения. Их можно считать константами ло­гического мышления. К этому стоит также добавить, что имеется знаменитый аргумент рогатки (slingshot), предназначенный для того, чтобы формально строго доказать тезис, что все истинные предложения обозначают одну и ту же вещь и все ложные предло­жения обозначают одну и ту же вещь. Этими вещами как раз и яв­ляются истинностные значения истина или ложь. Указанный ар­гумент восходит уже к некоторым замечаниям Фреге и впервые сформулирован А. Чёрчем. См, об этом подробно в [Шрамко 2009, §4], где приводится соответствующая литература. Но существуют и другие логические миры.