Дискретно-непрерывная математика (стр. 83 )

Уже в [Shramko, Dunn and Takenaka 2001] и [Шрамко 2002] в качестве истинностных значений берется множество всех подмно­жеств множества . Как указывается в этих работах, это приводит к идее обобщенного истинностного значения как под­множества некоторого базисного множества значений. Конечно, возможны и дальнейшие обобщения (см. [Ванзинг и Шрамко 2005]).

На самом деле первым «не точечным» представлением истин­ностных значений является матрица, полученная из алгебры Линденбаума (см. раздел 4.5), в которой элементы предстают в виде счетного множества эквивалентных формул.

Обратим также внимание на то, что булевозначные модели для теории множеств рассматриваются как многозначные логики [Mostowsld 1968,]. Соответственно многозначными логи­ками являются и гейтинговозначные модели. В первом случае фор­мулам приписываются в качестве истинностных значений элемен­ты булевых алгебр, а во втором - элементы псевдобулевых алгебр. Тогда в силу теоремы представления Стоуна для булевых алгебр формулам классической логики приписываются подмножества не­которого универсального множества, а формулам интуиционист­ской логики приписываются открытые множества топологических пространств [Расёва и Сикорский 1972]. В последнем случае в топологических моделях М истинностные значения сложных формул определяются так: ,

где Int(X) обозначает внутренность множества X.

Заметим, что в каждом случае теорема типа стоуновского представления дает косвенным образом ту или иную теоретико-множественную или топологическую интерпретацию истинност­ных значений.

Параллельно с этим структурализацию истинностных значений дает нам категорный анализ логики [Голдблатт 1983], который по­зволяет посмотреть на проблему истинностных значений как бы «извне».

Категория Set является топосом и имееет два истинностных значения: Т и F.

Категория Bn(J) (категория всех расслоений над J) является то­посом и может иметь бесконечно много истинностных значений, если множество J бесконечно. Но самое главное, что этими истин­ностными значениями являются все подмножества J.

Категория Top(J) пучков над J является топосом и истинно­стными значениями здесь являются открытые подмножества про­странства над J.

В первых двух примерах множество истинностных значений, которое называется классифицирующим объектом, представляет собой булеву алгебру; в последнем примере - алгебру Гейтинга. Несомненна связь между топосами и булевозначными и гейтинговозначными моделями. В других категориях, являющихся топо­сами, истинностными значениями могут быть самые неожиданные объекты, например, главные идеалы в категории M-Set для данного моноида М.

Итак, в качестве истинностных значений могут выступать раз­личные (четкие) подмножества некоторого множества, или эле­менты различных топологических пространств, например истинно­стными значениями в непрерывных логиках [Chang and Keisler 1966] являются элементы компактного хаусдорфова пространства. В свою очередь, как мы видели, в нечеткозначной логике Л. Заде высказываниям приписываются нечеткие подмножества из интер­вала [0, 1], т. е. элементы множества .....(см. раздел 9.3.1).

Более наглядный пример структурализации истинностных зна­чений дает нам фактор-семантика для п-значных логик, где в каче­стве истинностных значений выступают подмножества множества T-F-последовательностей (булевых векторов) конечной или беско­нечной длины. Обратимся к последнему случаю [Карпенко 1989].

Рассмотрим элементы множества (см. предыдущий

раздел). Пустьгде Для любых двух

элементов из введем отношение лексиграфического порядка

т. е. произведем упорядочение по принципу первого разли­чия. Пусть Т < F и пусть Тогда означает, что для некоторого k,

и для всех т < k.

Как известно, отношение лексиграфического порядка является отношением линейного порядка, а множество, упорядоченное та­ким образом, называется цепью. Из результата М. Даммитта [Dummett 1959], который берется в качестве определения А. Хорном [Нот 1969], следует, что алгебраическая структура цепи с первым и последним элементом (в качестве последнего эле­мента может выступать порядковое число ω) есть линейно-упорядоченная алгебра Гейтинга (L-алгебра), т. е. алгебра Гейтинга с законом линейности (см. раздел 8.2.3.1). Здесь эту алгебру обо­значим посредством LH. Таким образом, каждый элемент упорядоченный отношением лексиграфического порядка <, есть LH - алгебра с первым элементом и последним элементом т. е.

Теперь двойственным образом определим отношение лекси­графического порядка < для элементов где

В этом случае F < Т и первый элемент является наи­большим. Определяя двойственным образом операции на элемен­тах изполучим линейно-упорядоченную алгебру, двойствен­ную (double) к LH-алгебре. Такую алгебру назовем линейно-упорядоченной алгеброй Брауэра (LB-алгеброй):

где

В итоге мы получили, что в качестве множества истинностных значений для бесконечнозначной логики (см. предыдущий раз­дел) выступает объединение счетных множеств LH- и LB-алгебр. Отсюда можно сделать вывод, что в основе алгебраической струк­туры лежит линейная дважды гейтингова алгебра. Последние под названием «Р-алгебр» изучаются в [Epstein and Horn 1974].

Обратим внимание, что импликацию логики можно опре­делить следующим образом:

или, что то же самое:

где + есть операция арифметического сложения и

Пусть есть объединение счетных множеств абстрактных LH- и

LB-алгебр. Заметим, что множество может быть линейно упорядочено теоретико-категорными средствами, если взять мно­жество как множество объектов такой категории. В этом случае вырожденная LH-алгебра 0 и вырожденная LB-алгебра 1 являются подобъектом и фактор-объектом этой категории соответственно. Теперь обычным образом можно определить, операциина

элементах множества А. Тогда для любых

гдеесть моноидная операция, а операция отрицанияперево­дит LH - алгебру в LB - алгебру, и наоборот. Отсюда становится ясной роль двойственных алгебр.

Рассмотрим логическую матрицу Примером матрицы является матрица (см. выше). Таким обра­зом, в матрице истинностные значения, состоящие из множест­ва положительных и отрицательных чисел (с двумя нулями), интерпретируются соответственно линейно-упорядоченными ал­гебрами Рейтинга и Брауэра.

Из рассмотренного выше можно сделать по крайней мере два важных вывода. Во-первых, логика имеет два алгебраических уровня. Первый уровень (внутренний) — это алгебраические струк­туры истинностных значений в данной логике. Для бесконечнозначной логики как мы видели, такими структурами являютя LH- и LB - алгебры. В общем случае в качестве истинностных значений могут выступать различные алгебры [Карпенко 1986] и тогда возникает глобальная проблема определения логических опе­раций на алгебрах. Операции на алгебрах определяют второй (внешний) уровень логики, а именно алгебру самой логики. В на­шем примере это Р-алгебра с моноидной операцией на ней и ин­волюцией. В итоге возникает проблема взаимоотноше­ния этих двух уровней. Операции на алгебрах непосредственно приводят к категорному рассмотрению логики и построению топоса для нее. Так, в случае с классификатором подобъектов явля­ется объединение счетных множеств LH- и LB-алгебр.