Дискретно-непрерывная математика (стр. 81 )

Теорема 3. Логические матрицы и

изоморфны.

Доказательство. Требуемый изоморфизм достигается посред­ством отображения φ такого, что для

Очевидно, что φ есть взаимнооднозначное соответствие. Покажем, что изоморфизм имеет место, т. е.

Следующая последовательность равенств является доказа­тельством (*):

Для доказательства (**) возьмем такие, что

(1) Тогда очевидно, что правая часть (**) равна 1. Далее,Следовательно, левая часть (**) равна что и требовалось доказать.

(2) Тогда правая часть (**) в силу определения φ и → равна Но согласно определению число вхождений Т в равноСледовательно,

левая часть (**) также равна

Таким образом, логическая матрица

является характеристической для n-значного исчисления логики Лукасевича

Главный смысл фактор-семантики заключается в том, что теперь в качестве истинностных значений выступают определен­ные подмножества s-членных T-F-последовательностей из множе­ства Bs. Например, истинностное значение 1/3 интерпретируется множеством

В общем случае мощность множества вычисляется

по формуле для биноминальных коэффициентов

В нашем случаеТогда, например, мощность

множества состоящего из T-F-последовательностей длиной

s = 5, в каждую из которых число вхождений Т есть равно

10.

Рассмотрим еще один пример фактор-семантики, в данном случае для n-значной логики Клини Кn (см. раздел 5.1.1), представленную матрицей

Операцииопределяются обычным образом посредством

Определим матрицу следующим образом. Пусть

обозначает число вхождений Т в α и обозначает число

вхождений F в α. Тогда отношение RK на множестве Вs опреде­ляется так: т. т.т., когда

Заметим, что отношение RK в общем случае нерефлексивно, симметрично и в общем случае нетранзитивно.

Матрицу определим следующим образом:

где где

В результате имеем:

Теорема 4. Логические матрицы изоморфны.

Доказательство аналогично Теореме 3.

Из этих двух примеров фактор-семантики видно, что между множеством двухместных операций фактор-матрицы и множест­вом отношений на множестве Bs существует функциональное соответствие, которым в каждом конкретном случае и опреде­ляются свойства логической фактор-матрицы. На вопрос о том, что будет, если это множество отношений пусто, отвечает

Теорема 5. Фактор-матрица

есть модель для обобщенной квази-истиняостно-функционалъной

логики Н. Решера [Rescher 1962].

Обратим внимание, что здесь при определении операций на элементах множества никакое отношение R не вводится. Это значит, что функциине являются операциями на множестве В трехзначной квази-истинностно-функциональной логике Решера [Rescher 1969], например, Таким образом, смысл вводимых отношений на множестве Bs заключается в том, чтобы функции, определяемые на множесте были операциями.

В связи с этим возникает естественный вопрос о границах применения фактор-семантики. Очевидно, что средства фактор-семантики недостаточны для определения операции не сохраняющей Точно так же это имеет место и для унарных операций, т. е. мы не можем проинтерпретировать многозначную логику, связки которой не сохраняют истинностные значения 1 и 0, т. е. не являющейся С-расширяющей. Это следует из того, что в основе определения всех операций на элементах множества лежат покомпонентные булевы операции. Поэтому интерпретация Поста не является булевой, поскольку нельзя циклическое отрицание Поста определить покомпонентным булевым отрицанием без таких искусственных ограничений, вроде тех, что отрицается только первое вхождение Т. Из унарных операций покомпонентно определяется только отрицание Лукасевича (инволюция). Таким образом, для построения фактор-семантики исходные операции многозначной логики должны удовлетворять указанным выше требованиям.

Этим требованиям также отвечает максимальная непостовская логика Т*n . Пусть отношениена множестве Bs определяется так:

т. т.т., когда

Матрицу определим следующим образом:

где где

В результате имеем:

Теорема 6. Логические матрицыи

изоморфны,

Итак, фактор-семантика представляет собой интерпретацию многозначных логик средствами булевой алгебры, и этим опре­деляются ограничения на применение самой фактор-семантики. Чтобы убрать эти ограничения, требуется другое семантическое основание для интерпретации. Такая универсальная семантика была предложена в [Rasiowa 1974], где в качестве семантического основания для интерпретации конечнозначных логик была взята алгебра Поста.

Возникает еще один вопрос, можно ли распространить фактор-семантику на бесконечнозначный случай?

10.7.1. Фактор-семантика для бесконечнозначной логики

В основном для бесконечнозначных логик используются модели с множеством истинностных значений, обладающим свойством непрерывности или свойством плотности (см. гл. 8 и 9). Исключением является стандартная дискретная модель для логики RM. Здесь мы рассмотрим нестандартную дискретную модель для единственного предтабличного расширения

Пусть, как и ранее, т. е. В есть множество классических истинностных значений. Посредством обозначим

прямое произведение раз одинаковых множеств, равных В:

Поскольку В есть двухэлементное множество, то число эле­ментов множестваравнот. е. мощность этого множества есть континуум. Из этого множества выбросим те T-F-последовательности, в которых число вхождений Т, как и число вхождений F, одинаково счетно. Полученное в результате множество (обозначим его посредством есть такое множество бесконечных T-F-