Дискретно-непрерывная математика (стр. 31 )

есть дистрибутивная решетка с 1 и для унарных операторов ~ и

выполняются следующие тождества:

( Как показано в [Monteiro A. 1963], эти пять тождеств вместе с двумя тождествами: являются независимой аксиоматизацией)

Или, по-другому, трехэлементная алгебра Лукасевича есть алгебра де Моргана, снабженная операцией , удовлетворяющей условиям (3), (4), (5). Или, по-другому, есть алгебра Клини, снабженная операцией , удовлетворяющей условиям (3), (4). Заметим, что существует большое число эквивалентных алгебраических построений для Чтобы это как-то система­тизировать, обратим внимание на следующий факт: все сформулированные выше алгебры, начиная с алгебры де Моргана, на двухэлементном множестве {0, 1} превращаются в булеву двухэлементную алгебру.

С введением третьего элемента положение становится не столь тривиальным, однако все указанные дважды алгебры, а также сим­метрическая алгебра Гейтинга и некоторые объединения их сигна­тур являются трехэлементными алгебрами Лукасевича поскольку трехзначные логики со множествами связок

функционально эквивалентны и все представляют ,

Поэтому неудивительно, что в [Monteirp L. 1970] дана характеризация в терминах симметрическойалгебры Гейтинга; в [Varlet 1968; 1969] — в терминах дважды р-алгебр; в [Iturrioz 1976] - в терминах дважды алгебры Гейтинга, и в [Bechio 1978] - в терминах алгебры Рейтинга с дуальным псевдодополнением и в терминах дуальной, алгебры Гейтинга с псевдодополнением. Заметим, что приведенную выше аксиоматизацию можно рассматривать как аксиоматизацию в терминах алгебры де Моргана с псевдодополнением если заменить всюду операторна Также в разделе (8.1.1) мы приведем алгебраический примерв виде трехэлементной MV-алгебры. Имеются и другие алгебраические рассмотрения См., например, [Monteiro А. 1980] и [Abad and Figalla 1984]). Современный уровень алгебраического анализа см. в [Cignoli and Monteiro 2006], где дана характеризация структуры максимальных подалгебр трехзначных алгебр Лукасевича (см. ниже раздел 7.5.2).

Обратим также внимание на представление в виде

промежуточной р-логики со связками (см. 3.4.6),

Отсюда следует, чтоможно рассматривать как промежуточную

р-алгебру.

Интересно проследить изменение алгебраических структур с увеличением числа элементов. Например, известно, что если п > 3, то отрицание де Моргана нельзя определить посредством псевдо­дополнения и дуального псевдодополнения вместе с решеточными операциями. Поэтому уже точная характеризация посредством дважды p-алгебр непригодна. Все дело в том, что функциональные свойства настолько «богаты» и обладают таким

«критическим» свойством, что допускают много различных алгеб­раических характеризаций.

4.5.2 Алгебраизация некоторых других трехзначных логик

Очевидно, что трехзначная матричная логика Рейтинга G3 есть модель для алгебры Рейтинга. В свою очередь,есть трехзначная модель для алгебры Брауэра. Алгебраизация G3 приводится в [Раца 1965].

В [Финн 1974] вводится понятие трехэлементной алгебры Бочвара. Более подробно об этом см. в [Finn and Grigolia 1993], где алгебраизация В3 дается в сигнатуре

Здесь есть деморгановская дистрибутивная квази-

решетка. Известно, какую роль играют дистрибутивные решетки с псевдодополнением (р-алгебры). Обратим внимание на представ­ление логики В3 в виде слабой р-логики со связками (см. 3.4.6). Отсюда следует, что алгебраизацию Вз можно представить в очень простом виде, а именно как квази-решетку, снабженную трехзначной операцией псевдодополнения.

Заметим, что в работе [Finn and Grigolia 1993] дается также алгебраизация трехзначной логики Эббингауза Е3 в сигнатуре

где есть дистрибутивная

решетка без законов де Моргана.

Теперь на алгебраическом уровне мы можем сделать различие между логикой Клише К3 (сильные связки) и логикой Клини (слабые связки или, по-другому, внутренние связки Бочвара). В основе алгебры для К3 лежит деморгановская дистрибутивная решетка, а в основе алгебры для лежит деморгановская дистрибутивная квази-решетка. Это означает, что в К3 имеет место эквивалентность т. е. формулы имеют оду и ту же истинностную таблицу (реализуют одну и ту же функцию), а в нет. То, что существуют логики, в основе алгебраической семантики которых лежит не решеточная структура, а квази-решетка, впервые было обнаружено [Финн 1974] при рассмотрении трехзначной логики Бочвара Вз.

Как уже говорилось, наиболее важным примером алгебры Клини является матрица трехзначной логика Клини К3, а примером некоммутативной алгебры Клини является матрица логики Lisp (см. 3.4.4).

Наконец, обратим внимание, что связки не являются

даже полурешеточными [Mortensen 1989]. Алгебраическая структура Р1 исследована в [Lewin, Mikenberg and Schwarze 1990] и [Pynko 1995b]. Здесь же дано алгебраическое доказательство максимальности Р1. Относительно I1 алгебраические результаты содержатся в [Sette and Carnielli 1995].

5. Конечнозначные логики

5.1. Конечнозначные логики Лукасевича

Из всех конечнозначных логик наибольший интерес представляют логики Лукасевча Взаимоотношения между эти­ми логиками, классы их расширений, критерий Мак-Нотона о вы­разимости функций — все говорит о необычных свойствах этих ло­гик. Эта необычность отражается как на их гильбертовской аксиоматизации, так и на их алгебраическом представлении. Тем не менее, главная особенность связана с их функциональным свой­ствами и неожиданными следствиями из этого (см. раздел 7.6).

5.1.1. Матричная логика

Из всех конечнозначных логик наиболее известными являются конечнозначные логики Лукасевича матричное определение ко­торых впервые появилось в [Lukasiewicz 1922/1923]. Эти логики яв­ляются обобщением трехзначной Логики и формализуются в следующем пропозициональном языке

Пусть р, q, r с индексами или без них суть пропозициональные переменные; суть логические связки и - вспомогательные

символы. Понятие формулы определяется стандартно.

Другие логические связки вводятся по определению, как и для

Матрица вида называется п-значной

логической матрицей Лукасевичагде