Дискретно-непрерывная математика (стр. 24 )

(1) С-расишрение, т. е. ограничение → на подмножество {0, 1} множества V3 суть обычная классическая связка импликации.

(2) Нормальность: modus ponens согласуется с табличным определением связки →.

(3) Согласованность с частичным порядком на V3, если

(4) в остальных случаях.

При D = {1} имеем всего 6 импликаций:

Здесь

Приимеем 24 импликации:

Здесь

Примечание 1. Две пары импликаций совпадают как при D = {1}, так и при поэтому имеется всего 28 уникальных

импликаций, удовлетворяющих условиям (1) — (4).

Тогда решетка расширений логики Клини импликациями состоит всего из семи логик:

Пусть

Тогда

Напомним

Логики появляются впервые

и это можно объяснить только тем, что они являются неком-мутативными, если мы обычным образом определим в них дизъ-юнкцию. Таким образом, некоммутативность является фундамен­тальным свойством трехзначных логик. Заметим, что некоммутативным логикам уделяется все большее внимание. Самое примечательное то, что для всех этих семи логик имеется импликация, удовлетворяющая стандартной теореме дедукции.

Примечание 3. Логика Эббингауза Е3 также не попадает в эту классификацию, поскольку содержит сразу две импликации (внеш­нюю импликацию Бочвара и импликацию Собочиньского) и заме­нить их на одну импликацию нельзя, т. е. Е3 не является импликативным расширение Это хорошо видно на следующей

диаграмме:

Интересно, что у Е3 имеется некоммутативный напарник Т4 (точнотак же как у В3 имеется Т2 , а у PCont имеется Т ):

Интересна также таблица разбиений всех 28 импликаций на классы:

Стоит подчеркнуть, что в каждом из этих классов имеется им­пликация, которая позволяет сформулировать стандартную теоре­му дедукции (см. выше раздел 1.4).

Остается проделать аналогичную работу для расширений р-логик (см. выше).

4. Логические матрицы и решетки

4.1. Понятие логической матрицы

Понятие логической матрицы как обобщение интуитивного понятия истинностных таблиц появилось в начале 20-х годов ХХ века (, Я. Лукасевич, П. Бернайс, Э. Пост и др.). Но строго, понятие многозначнай логической матрицы для фиксированного пропозиционального языка введено Я. Лукасевичем и А. Тарским в работе [Lukasiewicz and Tarski 1930], подводящей итог исследований Львовско-Варшавской школы в области многозначной логики.

Логическая матрица представляет собой систему , состоящую их трех множеств, где V есть непустое множество истинностных значений, элементы которого обозначаются х, у, z с индексами или без них; О — множество матричных операций, определенных на множестве V, и D называется множеством выделенных значений такое, что D является собственным подмножеством V, т. е. но

Первоначально логические матрицы использовались как простейшие семантические модели для определения класса теорем в специфических логических исчислениях.

Примеры логических матриц:

называется

двузначной логической матрицей для пропозициональной классической логики С2, где матричные операции

определяются таблично точно так же, как и логические связки (см. выше раздел 1.1).

называется трехзначной логической матрицей для пропозициональной логики Лукасевича где матричные операции определяются таблично точно так же, как логические связки ~, → (см. 2.1).

В обоих случаях под многозначной логикой понимался класс тавтологий в соответствующем пропозициональном языке.

4.2. Основные свойства логических матриц

В общем случае для определения класса тавтологий, логического следования, семантического определения логической системы, модели и т. д. окажется весьма полезным понятие оценки формулы в логической матрице. Неявным образом мы этим понятием пользовались, когда говорили о формулах, принимающих то или иное истинностное значение.

Пусть Fm есть множество формул, образованных из соответствующего пропозиционального языка

Оценкой на матрице является отображение v из множества пропозициональных переменных в множество истинностных значений V. Тогда истинностное значение v(A) формулы А из Fm определяется индуктивно (с шагами, которые использовались при построении формулы): . .

1) если А есть пропозициональная переменная, то

2) если А и В есть формулы, то

еслиесть унарная связка;

если есть двухместная связка.

Обратим внимание, что здесь в левые части равенств входят пропозициональные связки, а в правые - символы операций из матрицы но для удобства будем использовать для них одинаковые обозначения.

Будем говорить, что формула А является тавтологией в матрице если для любой оценки v на матрице

Множество всех тавтологий обозначается посредством

Под правилом над множеством Fm обычно понимается отно­шение где есть множество всех подмножеств Fm и × есть операция декартова произведения; при этом, естественно, правила должны сохранять тавтологию, т. е. примененные к тавтологиям снова дают тавтологии.

Предположим, чтоесть некоторое множество правил над Fт и пусть Тогда каждая такая пара называется пропо-

зициональным исчислением L над Fm. Говорят, что матрица. адекватна для исчисления если применение всех правил из

к Х равно

Особый интерес представляют исчислениягде

есть множество правил, которое содержит по крайней мере два правила: modus ponens (MP) и подстановку. Понятие доказательства формулы А из посылокопределяется для всех рассматриваемых в книге исчислений стандартно (см. 1.4).

Пара полностью определяет множество

доказуемых в L формул. Исчисления рассматриваемого вида принято называть исчислениями гилъбертовского типа, а множество X - множеством аксиом исчисления Часто

рассматриваются исчисления с пустым множеством