Дискретно-непрерывная математика (стр. 57 )

[0, 1]. Полученную матрицу обозначим посредством

где ~ есть унарная и → бинарная операции отрицания и импли­кации соответственно, определенные на множестве [0,1] следую­щим образом:

Операции дизъюнкции и конъюнкции вводятся, как и для по определению:

Функция оценки (гомоморфизм) v формул пропозицио­нального языка в матрицу определяется аналогичным обра­зом, как и для Формула А является тавтологией в матрице если v(A) = 1 для любой функции оценки v в матрице Бесконечнозначная матричная логика Лукасевича есть множество тавтологий в

А. Линденбаум установил [Lukasiewicz and Tarski 1930], что как счетнозначная логика, так и континуальная логика Лукасе­вича имеют одно и то же множество тавтологий. Следующий ре­зультат принадлежит Я. Лукасевичу [Lukasiewicz and Tarski 1930]:

2

Там же Лукасевич выдвинул гипотезу, что аксиоматизи­руется с правилом подстановки и modus ponens посредством сле­дующих аксиом:

Эта гипотеза была подтверждена М. Вайсбергом [Wajsberg 1935], но доказательства не сохранилось. Позже оказалось, что аксиомане является независимой. Различные доказательства этого факта были получены одновременно и независимо друг от друга [Meredith 1958] и [Chang 1958]. Таким образом, аксиоматизация получается из аксиоматизации (см. раздел 2.4) посредством замены аксиомы (W4) на аксиому Наконец, А. Роуз и Дж. Россер [Rose and Rosser 1958] опубли­ковали доказательство полнотыотносительно

Таким образом, логическая матрица является характери-

стической для исчисления т. е. имеет бесконечную характе­ристическую матрицу и, как показал А. Уркварт [Urquhart 1986], для нет конечной характеристической матрицы.

Отметим, что предложенное доказательство полноты весь­ма громоздко (45 страниц) и к тому же существенно опирается на критерий Р. Мак-Нотона [McNaughton 1951] об определимости операций в бесконечнозначной матрице Лукасевича Имея в

виду исключительную важность этой теоремы Мак-Нотона для ис­следования свойств приведем необходимую формулировку:

Функцияопределима впосредством функций ~

и → т. т.т., когда;

(i) f является непрерывной и где

(ii) существует конечное число отличных друг от дру­га полиномов каждый из которых имеет форму где все b и т — такие целые числа, что для каждого набора существует такое, что

(iii) для произвольных имеют

место неравенства

-Нотона доказательство не является конструктивным, однако имеется конструктивное доказательство этой теоремы (см. [Mundici 1994]).

Как отмечается в [Aguzzoli and Ciabattoni 2000], в настоя­щее времяне имеет хорошо разработанной теории доказа­тельств, хотя в литературе встречаются различные (секвен­циальные) исчисления для

( Тем не менее длясконструирован прувер [Beavers 1993]. См. также [Met-calfe, Olivetti and Gabbay 2005].)

Однако эти исчисления или не являются аналитическими, т. е. содержат слишком мало инфор­мации о конструкции доказательств в (см. [Takahashi 1970], [Prijatelj 1996], [Ciabattoni and Luchi 1997]), или не являются внут­ренними, т. е. требуют совершенно посторонних средств (cм. [Hah-nle 1994] и [Mundici and Olivetti 1998]). В свою очередь, в [Aguzzoli and Ciabattoni 2000] строится секвенциальное исчисление для позволяющее редуцировать понятие логического следования в к тому же самому понятию в подходящих конечных множествах ло­гик В результате исчисление является аналитическим и имеет дело только с формулами логики. К тому же все манипуляции при

доказательстве являются синтаксическими и совсем не включают каких-либо алгебраических или геометрических вычислений.

Также стоит добавить, что в указанной работе значительно улучшается результат Д. Мундичи [Mundici 1987], впервые устано­вившего, что проблема разрешимости в может быть редуциро­вана к той же самой проблеме в подходящем множестве логик Усиление результата состоит в том, что общезначимость формулы α в может быть проверена в точно одной конечнозначной логи­ке и при том для п меньше где обозначает общее число вхождений переменных в α.

А теперь несколько замечаний о применении Исследо-

вания Р. Джайлса [Giles 1976] в поисках подходящей логики для формализации физических теорий с неопределенными выска­зываниями привели к весьма убедительной философской интер­претации счетнозначной логики Лукасевича которая имеет (субъективный) вероятностный характер. В работе [Pykacz 1994] показана связь с аксиоматикой квантовой механики. Особое ме­сто занимает в исследовании нечетких (fuzzy) логик (см. сле­дующую главу). Сама по себе нечеткая логика, построенная на ос­нове некоторой теории нечетких множеств, является по существу многозначной логикой. Поскольку в основе нечетких множеств За­де [Zadeh 1965] лежит множество чисел в интервале [0, 1], то это дало повод считать, что нечеткой логикой является именно конти­нуальная логика Лукасевича Например, Джайлс [Giles 1976] утверждает, что относится к теории нечетких множеств точно так же, как классическая логика к обычной теории множеств. Тако­го же мнения придерживается и X. Скала [Skala 1978]. Моделиро­ванию нечетких и неопределенных рассуждений посредством посвящена также значительная часть монографии П. Хаека [Hajek 1998].

Интерес вызывает предикатная бесконечнозначная логика Лу­касевича Кванторявляется инфинитарным обобщением конъюнкции а квантор является инфинитарным обобщением дизъюнкции Долгое время оставалась нерешенной проблема адекватной аксиоматизации для В [Scarpellini 1962] доказано, что множество общезначимых формул вне является рекур­сивно перечислимым, т. е.не имеет конечной аксиоматизации