Дискретно-непрерывная математика (стр. 87 )

1.6. Методы решения уравнений и неравенств

Определение 1.9. Объединением уравнений (неравенств, систем урав­нений и неравенств) называется их совокупность, общим решением кото­рой считается теоретико-множественное объединение общих решений вхо­дящих в нее уравнений (неравенств, систем уравнений и неравенств).

Основным методом решения уравнений (неравенств) БЛ является по­следовательное расчленение их правых и левых частей, базирующееся на определении операций БЛ и позволяющее заменять исходное уравнение (неравенство) эквивалентным объединением систем, состоящих из более простых уравнений и неравенств. Решение системы уравнений и неравенств получается как пересечение решений входящих в нее уравнений (нера­венств) . Пусть, например, в системе из двух уравнений

(1.70)

первое имеет решение

(1.71)

а второе — решение

(1.72)

(здесь где означают конкретные области значений параметра а, в которых решение имеет свое определенное выра­жение). Тогда решение системы (1.70) можно записать в виде следующего правила пересечения решений

(1.73)

Решение объединения уравнений (неравенств, систем уравнений и нера­венств) получается на основании определения 1.9. Пусть, например, в объе­динении двух уравнений

(1.74)

решение первого — (1.71), а второго — (1.72). Тогда решение системы (1.74) можно записать в виде следующего правила объединения решений.

(1.75)

Остановимся теперь подробнее на методе расчленения. Пусть имеющееся уравнение (1.62) представлено в каноническом виде (1.64). Тогда в его левой и в правой частях последними операциями могут быть лишь дизъюнк­ция или конъюнкция (мы не учитываем операций конъюнкции, формирую­щих коэффициенты а, с, d, e, считая эти коэффициенты неделимым целым; мы также не учитываем крайней ситуации, когда левая или правая часть имеет вид с = const или хі или Пусть, например, в левой части послед­няя операция — дизъюнкция. Тогда уравнение можно записать в форме

(1.76)

Теперь, согласно определению дизъюнкции БЛ (1.76), можно заменить эквивалентным объединением двух систем уравнений и неравенств

(1.77)

Каждое уравнение или неравенство в (1.77) проще исходного уравнения (1.76), так как по крайней мере в одной части содержит меньше операций. Этот процесс упрощения может быть продолжен путем расчленения правой части (1.76). Пусть, например, правая часть (1.76) также имеет в качестве последней операции дизъюнкцию. Тогда (1.76) примет вид

(1.78)

Используя представление можно каждое из двух уравненийв (1.77) заменить эквивалентным объединением двух систем уравнений, подобно замене (1.76) на (1.77). В результате получим следующее объединение четырех систем уравнений и неравенств, эквива­лентное уравнению (1.78)

(1.79)

В каждом уравнении или неравенстве в (1.79) и правая и левая части проще, чем соответствующая часть в исходном уравнении (1.78). Процесс последовательного упрощения исходного уравнения продолжается теперь путем расчленения правых и левых частей в уравнениях (неравенствах) (1.79) и т. д.

Если в исходном уравнении в какой-то части (например, левой) послед­ним операция — конъюнкция, то его можно записать в форме

(1.80)

Уравнение (1.80) по определению конъюнкции БЛ можно заменить экви­валентным объединением двух систем из более простых уравнений и нера­венств

(1.81)

Дальнейшее упрощение исходного уравнения следует намеченной выше схе­ме; расчленяется правая часть уравнения (1.80), что позволяет заменить (1.81) эквивалентным объединением четырех систем уравнений и неравенств. После этого левые и правые части полученных уравнений и нера­венств сами подвергаются расчленению и т. д.

Процесс последовательного упрощения исходного уравнения (неравенств) может продолжаться либо до получения нерасчленяемых уравнений и неравенств (они имеют простейший вид где или т. e. в совокупности уже составляют решение), либо до получения типовых уравнений и неравенств, решения которых заготовлены заранее. Второй путь связан с меньшим объемом вычислений и потому позволяет решать более сложные уравнения и неравенства.

1.7. Типовые обыкновенные уравнения и неравенства без отрицаний

Рассмотрим несколько типовых уравнений и неравенств с одним неиз­вестным, не содержащих операций отрицания. Простейшее из них

(1.82)

Уравнение (1.82) эквивалентно объединению систем что позволяет сразу записать его решение

(1.83)

Как видно, решение уравнения (1.82) существует лишь при Неравенство

(1.84)

эквивалентно объединению систем и, следовательно, имеет решение

(1.85)

Симметричное с (1.84) неравенство

(1.86)

можно заменить объединением систем

что дает решение в виде . При при

Итак, решение неравенства (1.86)

(1.87)

Видно, что решение неравенстве (1.86) существует при любых а и b. Урав­нение

(1.88)

эквивалентно объединению бистем (b=x>c) (b=c≥x). Потому его

решение можно записать как

(1.89)

Неравенство

(1.90)

можно представить в виде объединения cистемой

(с ≤x< b) (x < с < b).

Это немедленно дает решение

(1.91)

Рассмотрим неравенство

(1.92)

Для него эквивалентное объединение систем

Отсюда следует решение этого неравенства в виде

(1.93)

Неравенство

(1.94)

заменой у = ах сводится к предыдущему неравенству, что дает возможность найти значение ах. Определяя х с учетом (1.84) и (1.85), получим решение

(1.95)

Неравенство

(1.96)

той же заменой сводится к рассмотренному неравенству (1.90), что позво­ляет найти ах. После этого учет (1.86), (1.87) дает решение неравенства (1.96) в форме

(1.97)

Нестрогое неравенство

(1.98)

эквивалентно объединению уравнения (1.82) с неравенством (1.86). По­этому объединение их решений (1.83) и (1.87) дает решение неравенст­ва (1.98)

(1.99)

Уравнение

(1.100)

эквивалентно объединению систем Отсюда следует решение этого уравнения

(1.101)

Рассмотрим одно типовое неравенство с двумя неизвестными, не содержа­щее операции отрицания

(1.102)

Расчленение левой части (1.102) дает систему неравенств решение которой находим отдельно для двух случаев: