Дискретно-непрерывная математика (стр. 3 )

8.7.2. Предельные и непрерывные логики..............................................256 8.7.2.1. Неархимедова логическая многозначность...............................257

8.7.3. Логики со свойствами других логик.............................................258

8.7.3.1. Многозначные модальные логики.............................................258

8.7.4. Дуальность интуиционистских и

паранепротиворечивых логик.................................................................260

9. ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ И НЕЧЕТКИЕ ЛОГИКИ........262

9.1. Введение.............................................................................................262

9.2. Нечеткие множества и соответствующая логика...........................264

9.3. Вторая стадия фазификации.............................................................267

9.3.1. Нечеткие множества типа 2...........................................................269

9.3.1.1. Ограничения и упрощения..........................................................271

9.3.1.2.Иерархия минимальных моделей для нечетких алгебр типа 2 273

9.3.2. На пути к нечеткой логике.............................................................275

9.4. Логики, основанные на t-нормах......................................................278

9.4.1. Т-нормы...........................................................................................278

9.4.2. Семантический подход..................................................................280

9.4.3. Базисная нечеткая логика BL и ее расширения...........................282

9.4.3.1. Базисная нечеткая логика предикатов............................283

9.4.4. Моноидная логика, основанная на t-норме..................................284

9.4.5. Расширения t-логик новыми связками.........................................285

10. Истинностные значения: интерпретация

многозначных логик.................................................................................286

10.1. Фиксация проблемы........................................................................287

10.2. Логический мир Г. Фреге: два истинностных значения..............288

10.3. Другие логические миры................................................................289

10.4. Тезис Сушко.....................................................................................292

10.5. Интуитивная интерпретация....................................................297

10.6. T-F-последовательности в качестве истинностных значений.....301

10.7. Фактор-семантика: подмножества versus элементы………….....303

10.7.1. Фактор-семантика для бесконечнозначной логики ……….307

10.8. Структурализация истинностных значений..................................310

Часть ІІ.................................................315

БЕСКОНЕЧНОЗНАЧНАЯ И ПОРЯДКОВА ЛОГИКИ..........315

1. Основы бесконечнозначной логики....................................................315

1.1. Основные определения бесконечнозначной логики......................315

1.2. Задание функций бесконечнозначной логики.................................317

1.3. Эквивалентные логические

и логико-алгебраические преобразования..............................................318

1.4. Канонические представления функций

бесконечнозначной логики.................................................................... 323

1.5. Обыкновенные уравнения и неравенства

в бесконечнозначной логике...................................................................325

1.6. Методы решения уравнений и неравенств.....................................328

1.7. Типовые обыкновенные уравнения и

неравенства без отрицаний.....................................................................331

1.8. Уравнения и неравенства бесконечнозначной логики с отклоняющимися аргументами..............................................................333

1.9. Проблема полноты в бесконечнозначной логике..........................335

2. Порядковая логика и порядковые логические определители.........336

2.1. Вводные замечания………...............................................................336

2.2. Порядковая логика............................................................................337

2.3. Понятие порядкового логического определителя..........................340

2.4. Свойства логических определителей...............................................341

2.5. Раскрытие логических определителей в дизъюнктивной форме..346

2.6. Раскрытие логических определителей в конъюнктивной форме..350

2.7. Логические определители второго порядка………………………353

2.8. Раскрытие логических определителей путем их

разложения по элементам……………………………………………...354

2.9. Минимальное разложение логического

определителя-столбца по элементам…………………………………..357

2.10. Минимальное разложение общего логического

определителя по элементам……………………………………………361

2.11. Разложение логических определителей по блокам……………..366

2.12. Минимальное разложение логического

определителя по блокам………………………………………………..368

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОРЯДКОВЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ И ЕГО СЛОЖНОСТЬ…………………………..373

3.1. Вводные замечания………………………………………………..373

3.2. Сложность вычисления логических определителей

по формулам раскрытия………………………………………………..373

3.3. Сложность вычисления логических определителей методом последовательного разложения………………………………………..376

3.4. Приближенное вычисление логических определителей.

Случай определителя-столбца……………………………. …………..381

3.5. Приближенное вычисление общего бесконечного

логического определителя……………………………………………..384

3.6. Приближенное вычисление общего конечного

логического определителя.................................... .................................386

3.7. Вычисление семейств логических определителей………………390

3.8. Вычисление логических определителей

методом упорядочения.................................... .......................................393

3.9. Вычисление асимптотики выражения (3.1)………………………394

4. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ С

ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА СУММЫ ЭЛЕМЕНТОВ…………………..395

4.1. Вводные замечания.................................... .....................................395

4.2. Логические определители первого рода и их свойства………….396

4.3. Разложение логических определителей первого рода…………...403

4.4. Простейшее выражение логического

определителя первого рода.................................... ................................405

4.5. Логические определители второго рода и их свойства…………406

4.6. Разложения логаческих определителей второго рода……………408

4.7. Логические определители третьего рода и их свойства………….....................................................................................412

4.8. Разложение логических определителей третьего рода………….413

4.9. Логические определители четвертого рода и их свойства………416

4.10. Разложение логических определителей четвертого рода………419

4.11. Вычисление логических определителей…………………………423

4.12. Приближенное вычисление логических определителей……….426

5. Логические определители с ограничениями на область…………..429

5.1. Вводные замечания.................................... .......................................429

5.2. Понятие логического определителя с

ограничениями на область.................................... ..................................430

5.3. Свойства логических определителей..............................................431

5.4. Разложения логических определителей..........................................434

5.5. Вычисление логических определителей.........................................437

Приложение.................................... .........................................................442

Литература................... .................................... .......................................463

Часть первая

Многозначная логика

С существованием систем многозначной

логики мы должны сегодня считаться в

такой же степени, как, например, с

существованием систем неэвклидовой

геометрии.

Я. Лукасевич

При взгляде на простые числа возникает

ощущение, будто стоишь перед

непостижимой тайной творения.

Д. Цагер

Предисловие

Для определенного класса конечнозначных логик существует связь между логи­кой и простыми числами. А существует ли связь между доктриной логиче­ского фатализма и простыми числами?

укасевичем фаталистического аргумента, изобретенного Аристотелем, явилось основой для построения первой в мире неклассической логики, а именно трехзначной. Свойства её оказались шокирующими, а последующие обобщения на произвольный конечнозначный, а затем и на бесконечнозначный случаи показали, что моделирование конечного и беско­нечного средствами многозначных логик Лукасевича приводит к результатам, дающим право говорить о формировании к концу XX века двух различных и глубоких направлений в современной символической логике, названных «Конечнозначные логики Лукасевича» и «Бесконечнозначная логика Лукасевича», которые бурно развиваются.

Многозначная логика является исключительно раз­ветвленной областью символической логики по своему приме­нению, развитию и проблематике. Среди различных некласси­ческих направлений в логике многозначная логика занимает особое место по следующим причинам. Во-первых, в силу своего приме­нения в совершенно различных областях самой неклассической ло­гики. В некотором смысле можно говорить об универсальности и наибольшей общности, достигнутой в многозначной логике, что обеспечивается мощным техническим аппаратом, средства которого играют важную роль в решении внутренних проблем не­классических логик. Во-вторых, особая значимость конечнозначных логик связана с применением в теории релейно-контактных схем, в исследовании проблем искусственного интел­лекта и в теоретическом программировании, а также связана с тем, что они позволяют описывать работу самых различных реальных вычислительных устройств и автоматов. В-третьих, широкое ис­пользование в математике: математический анализ «нечеткости» (fuzzy) и аппроксимирующих рассуждений, построение различных моделей для теорий множеств, используя подходящие системы многозначной логики, доказательство независимости систем акси­ом. Наконец, многозначная логика используется в лингвистике и философии. Найдено применение к решению различных парадок­сов, пересмотрена теория истины А. Тарского. Само возникновение первой системы многознач­ной логики мотивировано чисто философской проблематикой, а именно опровержением фаталистического аргумента Аристотеля.