Дискретно-непрерывная математика (стр. 33 )

Если п > 3, то добавляется следующая аксиома:

гдене делит п-1; пр и р1 есть сокращения для

соответственно.

Правила вывода: МР и подстановка.

Другой метод аксиоматизации предложен М. Токажем [Tokarz 1974], который для этого существенно использовал критерий Мак-Нотона для выразимости операций в Однако оба метода (осо­бенно последний) требуют добавления формул слишком большой длины,

Поэтому особый интерес представляет работа Р. Тузьяка [Tuziak 1988], где аксиоматизация для проще, чем во всех пре­дыдущих работах (правда, в другой сигнатуре, чем исходная у Лукасевича), и, главное, не опирается на такие сильные метатеоремы, как алгебраическое доказательство полноты для или критерий Мак-Нотона для хотя для доказательства полноты и использу­ются средства алгебры Линденбаума.

Новая аксиоматизация выглядит следующим образом для лю­бого

п ≥ 2. Используются следующие сокращения:

и

для любого такого, что s не есть делитель п-1.

Правила вывода: МР и подстановка.

Обратим внимание, что при п = 2 и п = 3 аксиома (12) отсут­ствует. При п = 2 мы имеем аксиоматизацию классической пропо­зициональной логики. Тогда аксиома (4) есть

При п = 3 аксиома (4) есть

Если n = 4, тогда аксиома (12) приобретает вид

При этом достаточно рассматривать только простые числа s в аксиоме (12).

Аксиоматизация предикатной логики представлена в

[Urquhart 1986; 2001].

Имеются различные исчисления с устранением сечения (или семантические таблицы) для. Обратим внимание на работу [Prijatelj 1996], где пред­ложено генценовское исчисление логик в основе которого ле­жит ограничение структурного правила сокращения. Заметим, что одна из версий ограничения закона сокращения появляется уже в аксиоматизации Григолия, а у Тузьяка аксиома (4) есть в точности ограничение закона сокращения в гильбертовской форме.

5.1.7. Кардинальная степень полноты

У Тарского [Tarski 1930b] дается определение понятия кардиналь­ной степени полноты логики; оно может быть переформулировано следующим образом:

Кардинальной степенью полноты логики L, символически является число логик, содержащих аксиомы логики L.

Вначале было установлено, чтоа также для п-1 —

простое число:

если n-1 — простое число.

В общем случае теорема для произвольного n, была впервые опубликована М. Токажем [Tokarz 1974] и упрощена в [Tokarz 1977].

Пусть— произвольная последовательность на-

туральных чисел. Через будем обозначать число

всех подпоследовательностей D из С, которые удовлетворяют сле­дующим условиям:

(1) и для любого

(2) если то аj-1 не является делителем аk-1.

Для любого n будет последовательностью,

определяемой следующими условиями:

(iii) для любого i есть делитель п-1.

Теорема. Для конечного п кардинальная степень полноты есть

На самом деле вычисление кардинальной степени полноты для произвольной возможно только с помощью специальной ком­пьютерной программы, которая и была создана в 2000 г. M. H. Рыбаковым.

5.1.8. и п-значные логики Гёделя Gn

Гёдель [Godel 1932] показал, что никакая конечнозначная матрица не может быть характеристической для пропозиционального интуиционистского исчисления Н (см. ниже раздел 8.2.2). В связи с эим им была построена следующая логическая матрица

Трехзначная логика Гёделя есть в точности трехзначная логика Рейтинга G3. Таким образом, конечнозначная логика Gn есть обоб­щение G3.

Логика Gn аксиоматизирована различными способами [Thomas 1962], [Hosoi 1966], [Хомич 1986]. В [Thomas 1962] это делается так. Берется следующая аксиоматизация бесконечнозначной логики Геделя-Даммита LC (об этой логике см. ниже раздел 8.2.3.1):

Правила вывода: МР и подстановка.

Определения:

Искомая аксиоматизация Gn получается из приведенной заме­ной аксиомы 3 на аксиому 3п:

Нетрудно показать, что операции из Gn выразимы посредством операций из т. е. Gn функционально вложима в Для этого на­до определитьЗаметим, чтоесть не что иное, как опе­ратор Россера-Тюркетта J0(х ). В свою очередь, Р. Чиньоли [Cignoli 1982] показал, что

В итоге операции из Gn определяются в Это позволяет строить аксиоматизацию на основе интуиционистской импли­кации, что и было впервые сделано Р. Чиньоли [Cignoli 1982] (см. ниже).

Особый интерес представляет обобщениена беско-

нечнозначный случай и их взаимоотношения, что будет рас­смотрено в главе 8.

5.1.9. Алгебраизация

Первые работы в области алгебраизации принадлежат

Г. Мойсилу, который задался целью построить алгебраический ап­парат для п-значных логик Лукасевича, играющий ту же роль, что и булевы алгебры для классической логики. В [Moisil 1940] были по­строены алгебры для а в [Moisil 1941] (см. также [Moisil 1963]) эти алгебры были обобщены на п-значный случай. Полу­ченные алгебры были названы п-значными алгебрами Лукасевича; они представляют собой алгебру де Моргана (см. выше раздел 4.4), снабженную множеством операторов которые определяются на множестве Vп следующим образом:

Заметим, что в [Suchon 1974] дается определение операторов в матрице Лукасевича

Приведем аксиоматизацию класса всех п-значных алгебр Лука­севича, принадлежащую Л. Итурриоз [Itvrrioz 1977]. В этой работе введено понятие симметрической алгебры Рейтинга порядка п:

есть п-значная алгебра Лука­севича (п ≥ 2), есть симметрическая алгеб-

pa Гейтинга (см. раздел 4.4.2) и суть унарные опера-