Дискретно-непрерывная математика (стр. 77 )

10.3. Другие логические миры

Уже в ближайшее к Фреге время его универсум истинностных зна­чений оказался недостаточным, поскольку кроме действительного положения дел, которое имеет или не имеет места сейчас, зачастую приходится говорить о положении дел, которое может быть или не быть. Так появилась трехзначная логика Лукасевича. Подробно о введении в логику третьего истинностного значения см. выше гл. 3 (см. также [Томова 2009]).

Появление таких дополнительных истинностных значений, как «случайно», «возможно», «безразлично», «неопределено», «неиз­вестно», «бесмысленно», «парадоксально», «противоречиво», «ан-тиномично» и т. д., говорит уже о преднамеренной содержательной интерпретации и привязывается к непосредственному применению той или иной трехзначной логики. Так появляются трехзначные миры Лукасевича, Бочвара, Клини, Асеньо-Приста и т. д. Главное здесь то, что принятая интерпретация третьего истинностного зна­чения позволяет соответствующим образом определять логические связки. Так появляется важное разделение на сильные и слабые связки в трехзначной логике Клини и на внутренние и внешние связки в трехзначной логике Бочвара. Обратим внимание также на то, что введение третьего истинностного значения может играть столь различную роль в приложениях самой трехзначной логики, что сравнение свойств этих значений привело к очень плодотвор­ной идее о типе истинностных значений [Финн и др. 1980].

Появление логик с четырьмя истинностными значениями ока­залось весьма удобным средством для определения и интерпрета­ций модальных операторов, а также для обоснования самих четы - рехзначных логик. Специально этому посвящена статья [Caton 1963], где обоснование дается в терминах мобилизованных истин­ностных значений. Как раз проблема обоснования логики в первую очередь требует интерпретации самого множества истинностных значений, в данном случае множества {1, 2, 3, 4}. В [Caton 1963] этими числами обозначаются соответственно «логическая истина», «случайная истина», «случайная ложь» и «логическая ложь».

В таком же духе дается интуитивная интерпретация истин­ностных значений четырехзначной логики Н. Решером [Rescher 1965]:

Н. Решер предлагает модификацию интерпретации I следую­щим образом. Пусть имеются два несовместимых положения дел, одно из которых есть актуальное положение х, а другое - возмож­ное альтернативное положение у. Любое высказывание может при­нимать значение из множества {1, 2, 3, 4} согласно следующим правилам:

• истинно в х и в у (т. е. необходимо истинно),

• истинно в х, но не в у (т. е. актуально, но не необходимо ис­тинно),

• ложно в х, но не истинно в у (т. е. актуально, но не необхо­димо ложно),

• ложно в х и в у (т. е. необходимо ложно).

Эта интерпретация истинностных значений непосредственно восходит к А. Прайору [Prior 1955], который при обосновании че­тырехзначных модальных логик пришел к идее семантики возмож­ных миров. В данном случае А. Прайор полагает два возможных положения дел х и у таких, что в каждом из них высказывание мо­жет быть или истинным или ложным. В результате элементы мно­жества истинностных значений {1, 2, 3, 4} соответственно интер­претируются двучленными последовательностями, состоящими из вхождений Т (истина) и F (ложь):

.

( райор исходит из идей Я, Лукасевича при построении последним четырехзначной -модальной логики (см. выше раздел 5.4.1).)

Другие примеры четырехзначных логик мы подробно рассмот­рели в гл. 5, где наиболее интересной и важной в применении ока­залась четырехзначная логика Белнапа (см. [Белнап 1981; 1981]). Наиболее существенным оказалось то, что четыре истинностных значения Белнапа можно по-разному упорядочивать, в результате чего получаем или логическую решетку или эпистемическую ре­шетку истинностных значений. Теперь можно соответствующим образом проинтерпретировать и логические связки. Несомненно, идея М. Данна о том, что в качестве истинностных значений в че­тырехзначной логике могут выступать подмножества классическо­го множества истинностных значений {Т, F}, оказалась революци­онной.

Хотя и немного, но имеются содержательные примеры интер­претации и применения конечнозначных логик со множеством ис­тинностных значений, превосходящих 4. Последний пример, а именно четыре восьмизначных логики, исходя из идей Белнапа, представлены [Zaitsev 2009]. Берется множество всех подмножеств трехэлементного множества истинностных зна­чений логики Клини Кз. В качестве истинностных значений полу­чаем восемь подмножеств. На этом множестве вводятся четыре от­ношения порядка: относительно истины Т, относительно лжи F, относительно неопределенности N и относительно включения . Самое важное, что все четыре семантики моделируют следование первой ступени (см. выше раздел 5.4.4)..

Проблемы начинаются с интерпретации произвольных конеч­нозначных логик и в первую очередь - с осмысления того, чем яв­ляются в этих логиках истинностные значения. Поскольку, как вы­ше было указано, проблема труднейшая, то не лучше ли её вообще элиминировать?

10.4. Тезис Сушко

В начале 70-х годов известный польский логик Р. Сушко озадачил сторонников и адептов многозначных логик тезисом, согласно ко­торому ((каждая логика является (логически) двузначной» [Suszko 1977]. Этот тезис вызвал дискуссию, которая продолжается по сей день (см. [Da Costa, Beziau andBueno 1996], [Tsuji 1998], [Wan-sing and Shramko 2008]).

Тезис Сушко имел бы только философское значение, если бы не предложенный им формальный метод, который должен пока­зать, что каждая логика имеет бивалентную семантику. Это было названо редукцией Сушко. Сам математический аспект редукции вначале не был до конца прояснен, но идейная сторона того, что понимается под двузначной семантикой, состоит в следующем. Та­ковой является произвольное семейство произвольных функций, из множества пропозициональных формул в множество логических значений. Последнее множество идентифицируется с множеством классических истинностных значений {0, 1}, где 0 представляет значение «ложь», а 1 представляет значение «истина». В этой се­мантике указанные функции являются характеристическими функ­циями множества формул и называются логическими оценками. В отличие от логических оценок, оценки v в многозначных логиках (см. раздел 4.2) являются алгебраическими оценками: гомоморфиз­мами, отображающими алгебру формул в алгебру того же типа ис­тинностных значений (в логическую матрицу).

В [Suszko 1975] построена бивалентная семантика для трех­значной логики Лукасевича Пусть For обозначает множество формул пропозиционального языка. а {0, 1} - множество истин­ностных значений. Тогда LV3 есть множество всех функций

таких, что для любых выполняются следую-

щие условия:

При таком подходе элементы 1, 1/2 и 0 трехзначной матрицы Лукасевича не рассматриваются как логические значения; они предстают, по Сушко, именно как алгебраические значения. Оче­видно, что представленная семантика является неистинностно-функциональной. Сам Сушко не пояснил, почему именно таковы условия истинности и как эту процедуру можно распространить на другие логики. В [Malinowski 1977] была построена бивалентная семантика для п-значных логик Лукасевича Правда, отмечает Г. Малиновский, описание приемлемых оценок становится трудно­читаемым (illegible). Заметим, что в [Caleiro, Carnielli, Coniglio and Marcos 2005] представлен алгоритм построения бивалентной се­мантики для конечнозначных пропозициональных логик, а в [Caleiro and Marcos 2009] этот алгоритм усовершенствован.

Тезис Сушко вызвал определенную критику. У Сушко логика определяется в точности структурной операцией присоединения следствий, или структурным отношением выводимости (см. раз­дел 4.2), При этом предполагается, что множество истинностных значений V разбивается на два непересекающихся класса: множест­во выделенных значений D+, представляющее «истину», и множе­ство антивыделенных значений D-, представляющее «ложь». Эти два класса полностью исчерпывают универсум истинностных зна­чений (поскольку один класс является дополнением другого) и в общем случае представляют собой два логических значения, одно из которых, а именно «истина» используется при определении ло­гического следования. Заметим, что дуальным образом можно ис­пользовать и «ложь», но класс тавтологий останется тем же самым. Однако в [Malinowski 1994] сконструирована трехзначная квази­матричная логика, в которой пересечение и отноше­ние логического следования определяется относительно но множества не исчерпывают всего множества истинност­ных значений. В силу этого редукция Сушко только к двум значе­ниям не может быть применена.