Дискретно-непрерывная математика (стр. 41 )

. {где есть конечные множества формул в языке

т. т.т,, когда для каждой оценки v такой, что

для каждой формулы существует некоторая формула такая, что

Отношение имеет два важных свойства:

a) не имеет тавтологий,

b) является паранепротиворечивым:

Аксиоматизация отношения дается в виде генценовского исчисления под названием GBL. Фрагмент языка GBL является аксиоматизацией первопорядкового следования Посредством добавления соответствующих правил можно получить из этого фрагмента генценовские исчисления для Кз, J3 и С2.

Следует отметить, что исходя из исследований М. Фиттинга бирешеток с конфляцией, в [Arieli and Avron 1996] дается следую­щая формулировка классической бирешетки: Бирешетка с кон­фляцией называется классичекой, если для каэюдого Отмечается, что обе эти операции коммутируют: в

свою очередь, комбинация роль классического отрица-

ния В этой же работе исчисле-

ние GBL расширяется связкой конфляции.

Важная проблема, которая здесь возникает, это расширение языка BL связкой импликации В силу того, что соответствующая логика BL не имеет тавтологий, определение как уже говорилось, не является подходящим. Авторы указывают, что единственно приемлемым способом является следующий. Пустьесть логическая бирешетка. Тогда

Исчисление GBL расширяется связкой

a) GBLb есть консервативное расширение GBL,

b) GBL3 является паранепротиворечивой логикой,.

c) Фрагментидентичен классической позитив­ной логике.

Также приводится гильбертовская аксиоматизация Четырехзначная импликация есть не что иное как имплика­ция из Par. Отмечается, что она имеет ряд недостатков. Например, могут быть тавтологиями, но нет. Также

Имеем Авторы предлагают два способа исправления этих

недостатков. Первый заключается в том, чтобы усилить связку по­средством введения "сильной" (strong) импликации → . Тода четы­рехзначный случай со связкамиесть логика BN4 (у ав­торов нет ссылки на работу [Brady 1982]).

Импликация → интересна тем, что позволяет устанавливать взаимоотношения с другими логиками. Авторы отмечают, что зна­чимость введенного отношения в том, что оно может быть при­нято в качестве первого приближения в выводах при наличии про­тиворечивого знания. Проблемы, которые возникают с импликацией связаны с данным определением логического сле­дования которое является монотонным. Поэтому имеет смысл переопределить так, чтобы оно стало немонотонным. Здесь авто­ры следуют идее, взятой из [Kifer and Lozinskii 1992].

Все логические результаты, основанные на логических бирешетках, имеют также место и относительно четырехэлементой структуры FOUR. Такая структура в теории логических бирешеток играет ту же роль, что двухэлементная булева алгебра в теории бу­левых алгебр. Тогда, если есть FOUR, то множество является единственным простым фильтром. Заметим, что единственным простым фильтром на двухэлементной булевой ал­гебре является множество {1}.

Работа [Arieli and Avron 1998] посвящена именно изучению че­тырехзначной логики со связками Множеством выделенных значений D является множество Авторы отме­чают, что импликация в сигнатуре не определима и, более того, она не определима даже, если добавим пропозицио­нальные константы (такая логика обозначается посред­ством BL(4)

( В [Avron 1999] уточняется, что это следует из того факта, что все указанные связки являются монотонными, а связка нет. Здесь же устанавливается факт о функциональной предполноте BL(4). Это означает, что в отличие от трехзнач­ного случая, множество всех монотонных связок четырехзначной логики предполно. Этот же результат о функциональной предполноте BL(4) получен в [Рупко 1999]. О понятии функциональной предполноты см. в разделе 7.3.3.)

Однако логика со связками уже является функционально полной. Число связок в такой логике можно свести до базисного (классического) языка расширенного константами b и п. Более того, число связок можно свести до четырех:

Интересно замечание авторов, что из генценовской аксиомати­зации логики со связками следует, что -фрагмент является аксиоматизацией классической логики С2. Тогда можно представить аксиоматизацию логики со всеми этими связками как расширение С2 новыми связками, на­пример, ~.

Обратим внимание на работу [Muskens 1999]. Здесь строится четырехзначная логика предикатов L4, осно­ванная на бирешеточных операциях для которых имеет место функциональная полнота. Для L4 развивается теория моделей и доказывается аналог интерполяционной теоремы Крейга.

Очень важная, уже упоминавшаяся, алгебро-логическая работа относительно расширений DM4 принадлежит [Pynko 1999]. Здесь предложено 12 логик, ассоциированных с DM4: сама DM4, DM4 с 1 и 0 (BDM4), DM4 с (D4), D4 с константами

1, 0, b, n (BD4)3 BDM4 с классическим отрицанием (DMB4), BD4 с (В4); эти шесть логик расширяются импликацией , рассмот­ренной нами выше. Используя им же предложенную в 1993 г. теорию алгебраизуемых секвенциальных исчислений, представляет алгебраическую аксиоматизацию всех этих логик с последующей их секвенциальной аксиоматизацией. Также показывается, что логика BD4 с

классическим отрицанием , т. е логика В4, функционально полна.

5.4.5. Другие четырехзначные логики

Интерес вызывают работы по логике аргументации с использова­нием аппарата современной символической логики. Исходной яв­ляется статья [Финн 1996], где предлагается вариант логики аргументации А4, истинностные значения которой истолковывались соответственно как «фактически истинно», «фак­тически ложно», «фактически противоречиво» и «неопределенно». Семантика логики аргументации А4 образована непустым множе­ством доводов (возможных аргументов и контраргументов) и функциями g+ (аргументов pro) и g- (аргументов contra), которые отображают множества всех пропозициональных переменных во множество подмножеств некоторого (конечного) множества ар­гументов. С помощью функций g+ и g - вычисляется оценка пропо­зициональных переменных. Особенностью логики аргументации А4 является неассоциатиность конъюнкции &. Дана формализация ло­гики А4 методом аналитических таблиц Р. Смальяна. Также пред­ставлена логика предикатов А4. В [Финн 2007] рассмотрено три ти­па отношения порядка на множества истинностных значений в соответствии с чем строится четыре варианта четырех­значных логик аргументации.