Дискретно-непрерывная математика (стр. 75 )

• есть П - алгебра, если. удовлетворяет тождеству:

Комбинирование этих тождеств позволяет определять другие алгебраические структуры, являющиеся расширением BL - алгебры (см. рисунок в [Hahnle 2001], где отображены алгебраические структуры между BL - алгебрами и MV-, П - и G-алгебрами).

Свойство предлинейности позволяет свести изучение BL-алгебр (и любое их подмногообразие, такое, как MV-алгебры, G-алгебры или

П - алгебры) к изучению линейно-упорядоченных алгебр [Hajek 1998]:

1. Каждая BL-алгебра является подпрямым произведени­ем линейно-упорядоченных BL-алгебр.

2. Каждое многообразие BL-алгебр порождается линей­но-упорядоченными BL-алгебрами, т. е. BL-цепями.

Здесь же П. Хаек сформулировал гипотезу, что многообразие

BL-алгебр на самом деле порождается всеми алгебрами вида где * есть непрерывная t-норма на [0,1]. Гипо­теза была доказана в [Cignoli, Esteva, Godo and Torrens 2000]. Это позволяет доказывать полноту с оценкой формул в отрезке [0,1]. Такое доказательство полноты для t-логик, называется стандарт­ным, а сама семантика — стандартной.

9.4.3. Базисная нечеткая логика BL и ее расширения

В [Hdjek 1998] представлена гильбертовская аксиоматизация ба­зисной логики BL, основанной на t-норме, в языке соот­ветствующему алгебраическим операциям

Единственным правилом вывода является modus ponens.

(Здесь же дана аксиоматизация предикатной базисной логики BL. Стоит заметить, что поскольку главные различия между нечеткой и классической логика­ми лежат на пропозициональном уровне, то нечеткие предикатные логики раз­вивались замедленно. Этот пробел восполняется в [Hajek and Cinlida 2006].)

Дополнительные логические связки определяются

точно так же, как соответствующие алгебраические операции и Как уже говорилось, в [Hdjek 1998] доказана общая теорема полноты с построением алгебры Линденбаума для BL, а в [Cignoli, Esteva, Godo and Torrens 2000] дано стандартное доказательство,

откуда следует, что базисная логика BL является логикой непре­рывных t-норм.

Расширениями BL П. Хаек получает адекватную аксиоматиза­цию следующих трех известных логик:

• Логика Лукасевича есть

• Логика Гёделя-Даммита есть

• Логика произведений П есть

• Классическая логика С2 есть

Таким образом, логикой Лукасевича является инволютивная BL логика. Интересное взаимоотношение между этими логиками на алгебраическом уровне дано в [Vetterlein 2008], где ставится за­дача построения альтернативной семантики для нечёткх логик и BL. Для этого берется класс булевых алгебр и класс алгебр Гейтинга. На каждом из этих классов вводится специальное отношение эквивалентности (a-eqiiivalence), которое при естественных допу­щениях в первом случае порождает структуру соответствующую MV-алгебре, а во втором случае, структуру соответствующую BL-алгебре. Теперь высказывания и BL-логик оцениваются эле­ментами из полученных классов эквивалентностей соответственно.

9.4.3.1. Базисная нечеткая логика предикатов

Формулы базисной нечеткой логики предикатовопределяют-

ся так же, как в первопорядковой логике (см. выше раздел 1.6.2), и строятся из переменных по индивидам, предикатных символов, связок (остальные связки определяются указанным выше

образом) и кванторовСтандартная интерпретация состоит из

непустой области D и функции, которая отображает n-местный предикатный символ в n-местное нечеткое отношение n-местным нечетким отношением здесь является отображение из множества

n-местных последовательностей элементов D в множество истинно­стных значений [0, 1] - значения, при которых n-местные последо­вательности удовлетворяют формулеТеперь, с учетом непрерывной t-нормы, связки интерпретируются (в стиле Тарского), как в базисной пропозициональной логике BL. Степень истин­ности формулы вида определяется как инфимум (наибольшая нижняя грань) степеней истинности из А, и степень истинности формулы вида определяется как супремум (наименьшая верх­няя грань) степеней истинности из А.

Эта интерпретацияобобщает алгебраическую семантику,

основанную на линейно-упорядоченных BL - алгебрах (см, выше). Формула А есть обобщенная BL-тавтология в предикатной нечет­кой логикеесли она принимает значение 1 при каждой ин­терпретации. В [Hctjek 1998] представлено доказательство, что следующая аксиоматизацияявляется адекватной:

где A(t) есть результат правильной подстановки терма t вместо всех свободных вхождений переменной х в формулу А (подобная под­становка называется правильной, когда никакое из заменяемых вхождений х в А не находится в области действия квантора по пе­ременной, входящей в состав терма t) и формула В не содержит свободных вхождений х.

Правилами вывода являются modus ponens и правило обобще­ния.

9.4.4. Моноидная логика, основанная на t-норме

Тот факт, что t-норма имеет резидуал т. т.т., когда она является

л-непрерывной, послужил отправной точкой для построения логики

л-непрерывных t-норм, которая была обозначена посредством MTL.

В [Esteva and Godo 2001] MTL была аксиоматизирована как ослабление логики BL. Поскольку соответствующие алгебры не являются делимыми, т. е. мы не можем определить слабую конъ-

юнкцию то аксиоматизация логики MTL дается с двумя конъ-

юнкциями:

Единственным правилом вывода является modus ponens. В [Esteva and Godo 2001] доказана общая полнота MTL, т. е. относительно MTL-алгебр (класса резидуированных предлинейных решеток), а в [Jenej and Montagna 2002] доказана стандартная пол­нота. Таким образом, логика MTL есть логика л-непрерывных t-норм. Поскольку

BL-алгебры есть делимые MTL - алгебры, то дру­гой адекватной аксиоматизацией базисной логики BL является MTL с дополнительной аксиомной схемой

В свою очередь логика MTL является расширением моноидной логики ML [Hohle 1994] (логика резидуированных решеток) посредством добавления аксиомы предлинейности. Интересно, что логика ML на самом деле есть интуиционистская логика Int без со­кращения, если взять генценовскую формулировку Int под назва­нием LJ (см. [Takamura 2004], или система FLew, которая есть рас­ширение полного исчисления Ламбека посредством правил перестановки и ослабления (см. например, [Опо and Komori 1985]).

В [Hahnle 2001] приведена иерархия алгебраических структур (12 структур), имеющих отношение с t-нормами, а в [Esteva and Godo 2000] построена решетка t-логик. В [Gottwald and Hajek 2005] дается обзор пропозициональных t-логик, а в [Cintula and Hajek 2000] дается обзор предикатных t-логик.