Дискретно-непрерывная математика (стр. 82 )

последовательностей из.в которых или число вхождений Т конечно (или равно 0), или число вхождений F конечно (или равно 0). Очевидно, что мощность множества счетна. Элементы

множества будем обозначать посредством с индекса-

ми или без них, но при этом обозначения указывают на то,

что число вхождений Т или F конечно (или равно 0).

Для любого пусть есть конечное число вхож-

дений Т или F в α, такое, что

где (Z — множество целых чисел). Тогда если

и есть фактор-множество по отношению эквива-

лентности

Теперь элементы множества упорядочим естественным образом по числу нарастания вхождений Т для классов, где число вхождений F бесконечно, и по числу убывания вхождений F для классов, где число вхождений Т бесконечно. В результате по­лученное множество чисел, представляющее классы эквивалент­ности из (обозначим его посредством X) есть множество с порядковым типом т. е.

Именно на этом пути была получена следующая логическая матрица [Карпенко 1985]:

Логические операции определяются так:

где есть операция, арифметического вычитания, причем

Нетрудно проверить, что все аксиомы бесконечнозначной ло­гики Лукасевича общезначимы в этой матрице, т. е. матрица является дискретной моделью для Заме­тим, что эта модель является моделью без неподвижных точек от­носительно отрицания, т. е. Логику, для которой матрица является характеристической, обозначим посредством

Для этой логики имеет место фактор-семантика, которая стро­ится аналогично тому, как это было сделано для (см. также [Каrрепко 1988] и [Карпенко 1989]).

Рассмотрим следующую логическую матрицу

где множество истинностных значений определено выше;

есть множество выделенных значений, которое представляет собой одноэлементное множество, состоящее из последователь­ности, в которую входят только Т. Операции на множестве определяются следующим образом (здесь операции и - обычные булевы покомпонентные операции): для пусть где

причем отношение R∑ на элементах опре-

деляется так: т. т.т., когда

Теорема 7. Матрицы и изоморфны.

Таким образом, истинностные значения матрицы интер­претируются определенными счетными подмножествами из мно­жества Например, число 3 обозначает счетное множество T-F-последовательностей, в которые Т входит по три раза в каж­дую, а число вхождений F бесконечно. Соответственно, —3 обозна­чает счетное множество T-F-последовательностей, в которые F входит по три раза в каждую, а число вхождений Т бесконечно. В свою очередь, 0+ интерпретируется одноэлементным множеством - одноэлементным множеством

Обратим внимание на следующий результат [Vasyukov 1993]: полна относительно тернарной семантики Крипке с оценкой в матрице

В [Карпенко 1997] аксиоматизация поставлена в виде открытой проблемы, а в [Карпенко 2000] предложено следую­щее решение.

Напомним, что исчисление L называется предтабличным, ес­ли все его собственные расширения табличны, т. е. являются конеч-нозначными логиками. Легко видеть, что наша логическая матрица есть не что иное, как линейно-упорядоченная МV-алгебра Чэна, которую он обозначает посредством С и приводит в качестве при­мера непредставимой MV-алгебры [Chang 1958b]. Ю. Комори [Komori 1981] обобщает алгебру С на случай где

как раз и есть С. В [Rose 1953] было показано, что каждое соб­ственное расширение является конечно-аксиоматизируемым. Из нового доказательства этой теоремы, предложенного Комори, можно извлечь следующую характеристическую аксиому для

Таким образом, есть расширение за счет данной аксио­мы.

Как уже отмечалось, из [Beavers 1993b] следует, что су­ществует только одно предтабличное расширение Это расши­рение есть логика

10.8. Структурализация истинностных значений

Обратим внимание на тенденцию развития много­значной логики, которая заключается в том, что происходит структурализация истинностных значений (см. [Карпенко 1997]). Мы бы сказали, что первый этап структурализации истиностных значений заключается в том, что в качестве истинностных значений выступают не «точечные» элементы, а подмножества не­которого исходного множества истинностных значений.

Наиболее простым примером являются подмножества клас­сического множества истинностных значений {Т, F}. Дж. Данну принадлежит идея отождествления четырех истинностных зна­чений с четырьмя подмножествами множества {Т, F}, которое обозначается посредством. В развернутом виде этот подход изложен им в [Dunn 1976] и связан с построением се­мантики для первопорядкового следования. О развитии этой идеи Н. Бенапом см. выше в разделе 5.4.4. Особо стоит отметить, что семантика, предложенная Дж. Данном, была распространена Р. Раутли [Routley 1984] на полные системы релевантных логик та­ким образом, что в каждом возможном мире значениями высказываний являются подмножества множества {Т, F}. Этот подход был развит в работе [Restal 1995].

Поскольку релевантная логика тесно связана с паранепротиворечивой логикой, то для последней также используется семан­тика, где истинностными значениями являются подмножества множества {Т, F} [Priest 1984]. Имеется целый ряд работ, где ис­пользуются подобные истинностные значения, например, для ре­шения парадокса «лжец» [Visser 1984].

Интересно посмотреть, что представляет собой обобщение та­кой семантики, т. е. когда в качестве истинностных значений берут­ся подмножества более богатого множества, чем {Т, F}. На это ука­зывалось в [Карпенко 1989], где отмечалось, что в [Pappinghaus and Wifsing 1983] рассматривается индетерминистский язык программирования, где формулы такого языка интерпретируются посредством непустого подмножества из {Т, U, F}, где U в свою очередь интерпретируется как «неопреде­ленно». Напомним, что в [Zaitsev 2009] в качестве истинностных значений берется множество всех подмножеств трехзначной логи­ки Клини К3.