Дискретно-непрерывная математика (стр. 84 )

Во-вторых, из [Horn 1969] следует, что LH - алгебра является соответствующей алгеброй для линейной интуиционистской логи­ки LC. Таким образом, логику можно представить как логиче­ское исчисление, в котором пропозициональные переменные про­бегают по LC и дуальным к ним исчислениям, т. е. сама логика выступает в качестве истинностного значения [Karpenko 1987]. Философский смысл этого состоит в том, что рассуждения челове­ка или работу компьютера можно было бы представить не в рамках некоторой логики, а как рассуждение целыми логическими систе­мами с логическими операциями над ними.

Итак, что же такое логика? И здесь мы возвращаемся к опреде­лению логики, данному Лукасевичем [Lukasiewicz 1921]): (.(Логика есть наука об объектах специального вида, а именно нау­ка о логических значениях», т. е. наука об истинностных значени­ях.

Таким образом, применительно к многозначной логике из четырех основных определений: логика как исчисление, логика как алгебра, логика как функциональная система и логика как наука об | истинностных значениях, мы выбираем последнее. И в этом кроется глубокий философский смысл.

Часть ІІ

БЕСКОНЕЧНОЗНАЧНАЯ И ПОРЯДКОВА ЛОГИКИ

1. Основы бесконечнозначной логики

1.1. Основные определения бесконечнозначной логики

Определим над множеством из двух элементов {0,1 } обычные опера­ции двузначной логики: конъюнкцию

(1.1)

дизъюнкцию

(1.2)

и отрицание

(1.3)

В определении конъюнкции (1.1) знак опускается, если это не ведет к недоразумению.

Определение 1.1. Булевой функцией называется произвольная функция, которая совместно со своими аргументами принимает значения из мно­жества {0,1}.

Множество всех булевых функций, рассматриваемых совместно с опера­циями конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, называется булевой алгеб­рой. Булева алгебра играет важную роль в изучении работы многих систем и устройств, например вычислительных и управляющих. При этом сфера ее действия ограничена лишь изучением процессов, принимающих два зна­чения. В то же время большинство процессов, изучаемых в технике и эко­номике, могут принимать несколько (или даже множество) значений. Таковы процессы в электрических цепях, в частности в аналоговых вычис­лительных машинах (АВМ), переходные процессы в дискретных вычисли­тельных и управляющих устройствах, процессы последовательного вы­полнения совокупности работ в различных системах. Чтобы построить аналог булевой алгебры, пригодный для исследования названных процессов, следует обобщить двузначные логические операции (1.1) —(1.3) на случай, когда и переменные исходные величины, и результат операции принимают значения из бесконечного (непрерывного) множества. Это будет означать переход от двузначной к бесконечнозначной логи­ке (БЛ).

Для того чтобы. получить нужное обобщение, заметим следующее. Опера­ция (1.1) означает выбор меньшего из двух двоичных чисел, операция (1.2) - выбор большего из этих чисел, а операция (1.3) — замену имеюще­гося числа на симметричное с ним относительно середины отрезка [0,1]. Итак, пусть

(1.4)

— некоторый замкнутый и ограниченный интервал множества всех вещест­венных чисел. Этот интервал образует бесконечное (непрерывное) множест­во чисел. Середине этого интервала соответствует точка

(1.5)

Будем действовать по аналогии с двузначной логикой. Тогда для любой пары чисел операция конъюнкции БЛ определяется как

(1.6)

а операция дизъюнкции — как

(1.7)

В определении (1.6) знак когда это не ведет к недоразумению, будет опускаться. Заметим, что в случае более чем двух переменных обе операции определяются аналогично. Далее для любого числа операция отрицания БЛ определяется в виде

(1.8)

Из (1.8) непосредственно видно, что отрицание точки а на числовой оси дает точкусимметричную точке а относительно точки М.

Операции конъюнкции и дизъюнкции остаются определенными согласно (1.6) и (1.7) и в тех случаях, когда интервал С не замкнут и не ограничен либо когда С представляет собой произвольное дискретное (конечное или счетное) множество чисел. Однако для определения операции отрицания, согласно (1.8), требование замкнутости и ограниченности интервала С су­щественно; если же С — дискретное множество чисел, то существенным является требование симметричности этого множества относительно имею­щегося в нем центра (середины).

Определение 1.2. Функцией БЛ называется произвольная функция, которая: 1) совместно со своими аргументами принимает значения из множества 2) может выражаться через свои аргументы формулой в виде суперпозиции операций дизъюнкции, конъюнкции и отрица­ния БЛ и, возможно, обычных алгебраических операций. Множество всех функций БЛ, рассматриваемых совместно с операциями дизъюнкции, конъюнкции и отрицания БЛ (и, возможно, обычными алгебраическими операциями) называется алгеброй БЛ.

1.2. Задание функций бесконечнозначной логики

Рассмотрим произвольную функцию БЛкоторая

может быть выражена суперпозицией операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания БЛ над аргументамиТакая функция при любом наборе аргументов принимает значение одного из аргументов aі или его отрицания Действительно, операции дизъюнкции, конъюнк­ции и отрицания БЛ, суперпозицией которых представлено выражение функции, всегда имеют своим результатом одну из переменных, участвую­щих в операции, или ее отрицание (см. также § 1.9) . В соответствии с этим первичное задание функции БЛ обычно состоит

в перечислении всех т! вариантов упорядочения множества аргументов с указанием для каждого варианта того аргумента aі или его отрицания значение которого принимает функция.

От указанного первичного задания функции БЛ можно перейти к ее аналитическому представлению формулой, имеющей вид суперпозиции операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания БЛ. Методика перехода основана на последовательном объединении вариантов упорядочения мно­жества аргументов с помощью операций БЛ. Поясним эту методику на примере.

Пример 1.1. Функция БЛ от трех переменных задана табл. 1. Найти аналитическое представление этой функции.

Согласно табл. 1 искомую функцию можно представить в виде

Используя операцию конъюнкции БЛ, объединим первые две строки в одну:

Объединив теперь обе строки в одну с помощью операции дизъюнкции БЛ, получим искомое представление

Таблица 1

1.3. Эквивалентные логические

и логико-алгебраические преобразования

Эквивалентные преобразования в БЛ позволяют привести имеющееся выражение БЛ к наиболее простому или удобному виду. Эти преобразова­ния основаны главным образом на следующих законах БЛ, полностью сов­падающих с соответствующими законами двузначной логики:

- закон тавтологии

(1.9)

- переместительный закон

(1.10)

- сочетательный закон

(1.11)

- распределительный закон

(1.12)

- закон отрицания (де Моргана)

(1.13)

- закон поглощения

(1.14)

- закон двойного отрицания

(1.15)

Проверка законов (1.9) — (1.14) легко осуществляется перебором всех возможных вариантов упорядочения переменных и установлением для каждого варианта равенства левой и правой частей. Например, у 1-го закона (1.13) есть два варианта: В первом вариантеи закон принимает вид Во втором варианте и закон принимает вид =. Таким образом, закон всегда справедлив. Формула (1.15) вытекает непосредственно из определения операции отрицания БЛ.