Дискретно-непрерывная математика (стр. 70 )

С конца 80-х и начала 90-х годов нечеткая логика, под которой зачастую понимается все, что связано с нечеткими подмножества­ми, занимает чуть ли не ведущее положение в информационных технологиях. Нечеткая логика оказалась очень пригодной для рабо­ты с аппроксимированной информацией: она применяется для управления нелинейных систем и для моделирования сложных сис­тем, не имеющих простых математических моделей, где двусмыс­ленность и неопределенность общеприняты. Сегодня нечеткая ло­гика применяется как инструмент управления комплексными промышленными процессами, в экспертных системах и системах обнаружения ошибок. Нечеткие экспертные системы находят ши­рокое применение в медицине и экономике. Области применения нечеткой логики стремительно расширяются, и она давно уже обеспечивает контроль рабочих параметров бытовой техники. Об изменении нашего мира и о применении нечеткой логики в повсе­дневной жизни см. [McNeill andFreiberger 1993] и [Van Pelt 2008].

В настоящее время издаются более десяти специализированных журналов по нечетким множествам и системам. Один только международный журнал «Fuzzy sets and systems», с 1970 г. начал издавать около 300 статей в год. Хорошим введением в теорию нечетких множеств является монография А. Кофмана [Кофман 1982]. Здесь приведена значи­тельная библиография (с. 400-424) с добавлением русскоязычной литературы по этой теме (с. 424-427). См. также библиографию в [Kandel and Yager 1979], которая насчитывает 1799 названий. Име­ются также обзоры в [Dubois and Prade 1994] и [Dubois, Prade and Sessa 1994, 1994]. В [Hcihnle 2001] отмечается, что поиск со­ответствующей литературы в Библиотеке Конгресса США обозна­чил, по крайней мере, 150 книг (включительно по 1999 г.), в загла­вии которых встречаются термины "fuzzy logic", "fuzzy systems" и "fuzzy set". Отметим только некоторые из них, ставшие классиче­скими: [Nowak 1989], [Zimmermann 1991 (2001)], [Gottwald 1993], [Kruse, Gebhardt and Klawonn 1994], [Klir and Yuan 1995 (2007)], [Nguyen and Walker 1999 (2005)]. На более поздние книги будем ссылаться по ходу изложения материала.

С середины 90-х годов стали выходить книжные серии, самая известная из которых "Studies in Fuzziness and Soft Computing" (245 томов по 2009 г.) Последний том посвящен основам теории нечет­ких множеств [Wang, Da Ruan and Kerre 2009]. С 1998 г. стала вы­ходить фундаментальная серия справочников по нечетким множе­ствам ("The Handbook of Fuzzy Sets Series"). Особо стоит отметить т. 7, [Dubois and Prade (eds.), 2000] с предисловием Л. Заде, в кото­ром говорится, что издание этого тома является монументальным достижением в области теории нечетких множеств, ее границ и важных применений.

Интересна следующая оценка теории Л. Заде: «Концепция размытых можеств, сформулированная в работах Заде, прозвучала как вызов, брошенный европейской культуре с ее дихотомическим видением мира в жестко разграничиваемой системе понятий» [Налимов 1979].

Нас же во всем этом будут интересовать в основном соотно­шения с логикой.

9.2. Нечеткие множества и соответствующая логика

Исходным понятием обычной теории множеств является понятие принадлежности элемента х некоторого множества X к опре-

деленному подмножествуДля выражения этой принадлеж-

ности можно использовать и другое понятие - характеристическую функцию значение которой указывает, является ли (да или нет) х элементом А:

Однако как раз в гуманитарных науках это понятие принад­лежности оказалось недостаточным для рассмотрения ситуаций, которые описываются с помощью нечетко определенных понятий типа «множество высоких людей», «множество хороших логиков», «множество чисел много больше 10», и т. д. Здесь дихотомия рас­смотренной функции принадлежности не позволяет любому эле­менту или принадлежать, или не принадлежать данному множест­ву. Таким образом, дихотомия функции принадлежности должна быть отвергнута точно так же, как Я. Лукасевич отверг дихотомию функции приписывания истинностных значений (принцип бива­лентности). Тогда, следуя Л. Заде, в основе теории нечетких мно­жеств лежит представление о том, что составляющие множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно, принадлежать данному множеству с различной степенью. При таком подходе вы­сказывание типа «элемент принадлежит данному множеству А» те­ряет смысл, поскольку необходимо указать, с какой степенью эле­мент принадлежит данному множеству. Это множество степеней принадлежности может оцениваться на бесконечной шкале дейст­вительных (или рациональных) чисел от 0 до 1, или на части чисел интервала [0, 1], в том числе и конечной шкале. Например, объект, определяемый выражением где

хі — элемент универсального множества X, а число по­сле вертикальной черты дает значение характеристической функ­ции на этом элементе, будем называть нечетким подмножеством множества X. Следовательно, рассмотренное нечеткое подмно­жество А содержит в небольшой степени х1, не содержит x2, со­держит x3 в немного большей степени, чем x12, полностью содержит x4 и в значительной степени х5. Итак, А является нечетким подмножеством, если там имеется по крайней мере один элемент х, ко­торый принадлежит А со степенью отличной от 1.

Дадим строгое определение понятия нечеткого множества. Пусть X — множество, счетное или нет, и х — элемент X. Тогда не­четкое подмножество А множества X определяется как множество упорядоченных пар для всякогогде — харак-

теристическая функция принадлежности, принимающая свои значения во множестве М (у Заде М есть интервал [0,1]), которая указывает степень принадлежности элемента х подмножеству А. Другими словами, нечеткое подмнооюество А множества X есть отображение Обозначим посредством

множество всех таких отображений.

Если то «нечеткое подмножество» становится

«четким», обычным подмножеством. Таким образом, нечеткое подмножество является обобщением обычного подмножества.

Пример. Пусть N— множество натуральных чисел: Рассмотрим нечеткое подмножество «небольших» натуральных чи­сел: Здесь функ­циональные значения где х = 0, 1, 2, ..., задаются, конечно, субъективно. Таким образом, 0 полностью принадлежит А, 1 при­надлежит А со степенью 0,8, и т. д.

Определим простейшие операции пересечения объединения и дополнения над нечеткими подмножествами. Пусть X— мно­жество и А и В два нечетких подмножества X, Тогда для всякого

Теперь схематично построим нечеткую логику, утверждения которой в отличие от классической двузначной логики принимают любое значение в где α и β— нечеткое утверждение и

обозначает истинностное значение α. Логические связки про­позициональной логики определяются обычным образом:

Для двух нечетких утвержденийеслито

Заметим, что здесь логические связки определяются как для логики Клини К3 и ее обобщений. Поэтому естествен следующий результат. Как известно, обычная теория множеств и законы клас­сической логики являются примерами моделей, удовлетворяющих булевой алгебре (см. выше раздел 4.4.1). Возникает вопрос, моде­лями какой алгебры является теория нечетких множеств и нечеткая логика? Легко показать, что нечеткой алгеброй (типа 1) является алгебра Де Моргана, или, по-другому, дистрибутивная решетка без дополнений, т. е. булева алгебра без закона исключенного третьего (и, соответственно, без закона непротиворечия Например, пусть Тогда Отсюда,