Дискретно-непрерывная математика (стр. 39 )

В [Ермолаева и Мучник 1974] впервые в качестве объекта ис­следования изучалась логика DM4 со стандартным модальным оператором III (см. выше раздел 5.4.1) и был представлен ее алгеб­раический эквивалент с теоремой представления. Здесь отмечается, что алгебра подобной логики возникла еще при первоначальной попытке Г. Мойсила найти короткую систему аксиом для трехзначных алгебр Лукасевича.

Специально изучению такой логики под названием TML itetravalent modal logic) и их алгебрам (ТМА) посвящена обстоятельная статья [Font and Rius 2000]. Здесь отмечается, что ТМА. первона­чально изучались А. Монтейро пoд влиянием работ Л. Монтейро,

посвященных доказательству независимости аксиоматизации трех­элементных алгебр Лукасевича [Monteiro L. 1963]..

В [Font and Rius 2000] приводится аксиоматизация ТМА. К аксиомам алгебры Де Моргана добавляются следующие две аксиомы:

Если к ним добавить аксиомуто

получим аксиоматизацию класса трехэлементных алгебр Лукасеви­ча. Здесь же представлено секвенциальное исчисление логики TML.

5.4.4.2. Логика DM4 с эндоморфизмами

Как и в случае с расширением классической логики С4, особый ин­терес представляют расширения логики Белнапа DM4 эндомор­физмами g, e1

и е2 (см. раздел 5.4.3). Однако здесь, в отличие от предыдущего случая, решетка логик не столь привлекательна.

Интересно, что в случае с эндоморфизмом g мы опять же по­лучаем модальную логику V2. Это следует из того простого факта, что логики с операциями функционально

эквивалентны:

Отсюда также следует, что V2 есть расширение TML.

Другим заслуживающим внимание расширением логики DM4 является так называемая логика истинности фон Вригта.

Г. Х. фон Вригт, начиная со статьи «Истина и логика» [Wright 1984], конструирует целый ряд исчислений, отличительной чертой которых является расширение классической пропозициональной логики пропозициональным оператором истинности Т («истинно, что...»), который играет роль модального оператора. Таким обра­зом, понятие истины вводится в объектный язык. Как пишет фон Вригт, эта тематика заинтересовала его еще в статье «О логике от­рицания» (1959).

В статье, опубликованной на венгерском языке в журнале «Dоха, 5» (1985), а затем на русском языке [Вригт 1986], вводятся трехзначные и четырехзначные операторы истинности. Трехзнач­ные операторы истинности представляют собой не что иное, как модальные операторы из трехзначной модальной логики Лукасевича (см. выше раздел 3.1.2), но, как нам уже известно, соот­ветствующие логики по своим функциональным свойствам есть не что иное, как трехзначная логика Лукасевича и тогда ничего но­вого мы не получаем, и всякий смысл оператора истинности про­падает

В заключительной работе [Wright 1987] аксиоматизируется че­тырехзначная логика истинности Т" (у фон Вригта - T"LM) с од­ним выделенным значением, которая на самом деле представляет собой расширение логики DM4 (без ссылки на Н. Белнапа) посред­ством эндоморфизма e2 (см. выше раздел 5.4.3). Эта операция как раз и обозначается посредством Т. Поскольку в Т" выразим стан­дартный оператор необходимостито Т" можно представить как расширение модальной логики Де Моргана TML (см. выше) посредством добавления оператора Т. Легко пока­зать, что в Т" выразимы все J1(x)-операторы. Это значит, что ис­пользуя алгоритм, предложенный в [Аншаков и Рычков 1982] (см. следующую главу), пропозициональную логику Т" (как и её пре­дикатный вариант) можно аксиоматизировать как расширение классической логики. Заметим, что если в логике Т" отрицание Де Моргана ~ заменить на булево отрицание то получим модальную логику K4(S) (см. выше раздел 5,4.3), и тогда «логикой истинности» можно было бы считать данную логику. Отметим также, что если логику Т" расширить булевым отрицанием то получим логику Лукасевича Это следует из решетки расширений С4 (см. выше),

В [Павлов 1994] (см. также [Павлов 2004]) появляется форма­лизация четырехзначной логики ложности под названием FL4. Исходными связками здесь являются импликация → и оператор ложности F. Заметим, что импликация → есть не что иное, как им­пликация из белнаповской логики DM4, если возьмем стандартное определение: Оператор ложности F (в указанных работах он обозначается посредством —х) можно определить сле­дующим образом:

Понятно, что логика ложности FL4 по функциональным свой­ствам есть не что иное, как логика истинности Т". Заметим, что Т" также получается, если DM4 расширить эндоморфизмом е2, по­скольку эндоморфизмы е1 и е2 взаимовыразимы при наличии де-моргановского отрицания:

Заметим, что выбор оператора е2 (или е1) в качестве оператора истинности крайне неудачен, поскольку в силу свойств этого опе­ратора (значениями е2(х) являются только 1 или 0) вся предпола­гаемая проблематика истинности и ложности сводится к двузнач­ному случаю и становится тривиальной. Это хорошо видно из указанных работ . На самом деле главным для фон Вригта было построение паранепротиворечивой логики, в которой закон непротиворечия не имеет места. Этим и только этим объясняется выбор отрицания де Моргана ~ и соответст­вующего оператора истинности Т.

В разделе 5.4.6 будет предложен оптимальный вариант четы­рехзначной пропозициональной «логики истинности» в связи с аристотелевской проблемой логического фатализма.

5.4.4.3. Логика DM4 с импликацией

Определение импликации как в DM4 не является адек-

ватным, поскольку ни modus ponens, ни теорема дедукции не име­ют в таком случае места.

Импликация Смали А → В (см. выше) обладает такими свойст­вами, но только на первопорядковом уровне, где А иВ суть форму­лы, не содержащие вхождений связки →. В [Brady 1982], исходя из свойств импликации Смали, это ограничение снимается. При этом автор обобщает свойства трехзначной импликации из RM3 (см. выше раздел 3.5.2.1) следующим образом:

На подмножестве есть импликация Собочиньского

из RM3, в то время как на подмножестве есть имплика-

ция Лукасевича из DM4 сданной импликацией обозначается в [Brady 1982] посредством BN4 и выделенными значениями явля­ются 1 и b. Здесь приводятся различные виды семантик для BN4 и дается гильбертовская аксиоматизация с несколькими правилами вывода. В этой логике верифицируются все аксиомы релевантной системы R (см. раздел 8.5.1), кроме закона сокращения.

Логика BN4 независимым образом появляется в [Slaney 1991]. Она изучается также в [Restall 1993] в связи с аксиомой свертыва­ния в наивной теории множеств, где считается наиболее естествен­ной четырехзначной логикой.

В отличие от [Brady 1982] в [Попов 1989] обобщает свойства трехзначной паранепротиворечивой логики PCont (см. выше раздел 3.5.2) на логику Par. В указанной работе приводится секвенциальная и гильбертовская аксиоматизация Par. Последняя состоит из всех классически общезначимых, формул, не содержа­щих отрицание ~. А также следующие десять формул:

Правила вывода: modus ponens и подстановка. В [Рупко 1999] было отмечено, что Par является расширением DM4 посредством добавления связки

Обратим внимание, что на подмножестве есть им-

пликация из паранепротиворечивой логики PCont, в то время как на подмножестве есть импликация рассмотренная нами в (3.1.1). В этой работе также представлено генценовское исчисление для Par и показано, что алгебраической семантикой для логики DM4 с импликацией т. е. для Par, является импликативная решетка Де Моргана.