Дискретно-непрерывная математика (стр. 13 )

Правила вывода, как и для С2: МР и подстановка. Аксиоматизация Вайсберга означает, что для как и для С2 (см. выше раздел 1.4), имеет место следующая

ТЕОРЕМА. Для всякой формулы тогда и только

тогда, когда

Таким образом, как и классическое исчисление С2, исчисление непротиворечиво и дедуктивно полно. Также тривиальным об­разом следует его разрешимость из трехзначности семантики.

3.1.1. Отличия трехзначной логики Лукасевича от классической С2

Обратим внимание на одно весьма важное свойство истинностных таблиц для а именно: на классическом можестве истинностных значений, т. е. на множестве {1, 0} определение логических связок совпадает с определением связок классической двузначной ло­гики С2. Отсюда следует, что любая тавтология есть тавтология С2, но не наоборот.

Например, легко проверить, что закон сокращения

не есть тавтология в Заметим, что если в аксиоматизации Вайс­берга аксиому (W4) заменить на закон сокращения, то получим ак­сиоматизацию С2. Это следует из того факта, что из аксиом Вайсберга Wl, W2 и закона сокращения выводима само­дистрибутивность, т. е в аксиоматизации С2, представленной Лукасевичем (см. 1.5), самодистрибутивность можно заменить на транзитивность и сокращение. Тогда аксиоматизацию Вайсбергом можно представить как замену в новой аксиоматизации С2 за­кона сокращения на аксиому W4.

Введение Лукасевичем в логику третьего истинностного зна­чения, промежуточного между истиной и ложью, имело ради­кальные последствия для самой логики, самым главным из которых оказалось то, что не все законы классической логики имеют место в В первую очередь обращает на себя внимание тот факт, что ни закон исключенного третьего и, главное, ни закон непроти-

воречия не являются законами эти формулы прини-

мают значение 1/2, когда p имеет значение 1/2. Реакция на подобную ревизию классической логики была весьма неоднозначной (и для многих логиков отбрасывание этих законов было неприемлемо), а сам Лукасевич неоднократно подчеркивал, что построенная им трехзначная система логики отличается от двузначной логики, единственно тогда известной, настолько сильно, насколько неэвк­лидовы системы геометрии отличаются от эвклидовой геометрии.

Заметим, что Лукасевич определяет дизъюнкцию и конъ-

юнкциютаким образом, чтобы они имели свойства классиче-

ских логических связок, т. е. как и в классической логике С2 значе­ниеявляется максимальным, а значение — минимальным. Но можно определить по-другому, а именно т. е. теперьТогда закон исключенного третьего будет законом но не будет законом формула Такую дизъюнкцию обозначим посредством она появится у нас в гл. 8. Эти примеры указывают на другую особен­ность которая заключается в том, что уже в трехзначной логике становится возможным обобщать свойства классических связок по-разному, в результате чего и получаем, например, различные дизъ­юнкции, в то время как в где есть классические связки отрицания и импликации соответственно.

Отметим также, поскольку закон сокращения не есть тавтоло­гия вто немедленным следствием этого является то, что стан­дартная теорема дедукции не имеет места в Например, при стандартном определении логического следования

Подходящей логической связкой для стандартной формы тео­ремы дедукции может быть следующая:

Ее истинностной таблицей является

Истинностная таблица для →1 независимо друг от друга была предложена в [Slupechi, Bryll andPrucnal 1967] и [Monteiro A. 1967]. Также независимым образом она вводится в [Avron 1991], как обла­дающая многими желательными свойствами. Эта импликация ве­рифицирует импликативный фрагмент классической логики. Те­перь мы можем взять в качестве исходных связок другое множество связок, например, Но тогда нужно показать, что логики с множествами связок эквивалентны, т. е. показать, что посредством множества связок определимы связки из множества и наоборот. В одну сторону мы уже показали. Остается только определить посредством нового множества связок импликацию →:.

Такую эквивалентность множеств логических связок Н. Решер назвал D-эквивалентностъю [Rescher 1969]. Обычно говорят, что в этом случае имеет место функциональная эквивалентность (см. подробно в гл. 7).

Обратим внимание на трехзначную логику BL [Blau 1978], предназначенную для анализа естественного языка и явившуюся следствием дискуссии в области философии языка. Третье истин­ностное значение и = 1/2 интерпретируется как неопределено (unde­termined) и его появление вызвано или использованием нечетких предикатов, или использованием имен, не имеющих денотатов. На пропозициональном уровне логика BL содержит три исходные связки: отрицание ~ и конъюнкцию Лукасевича и еще одно отри­цание ≈ (у нас оно появится в разделе 3.2.1 под обозначением Теперь вводится связка импликации

р →BL q =: р q

и утверждается, что только эта импликация является подходящей для трехзначного моделирования предложений вида «Все А есть B» в естественном языке. Обратим внимание, что импликация есть не что иное, как импликация рассмотренная чуть выше, а значит логика BL по своим функциональным свойствам есть на са­мом деле трехзначная логика Лукасевича Ключевым моментом использования логики BL является идея, что естественный язык использует только связки, которые удовлетворяют нормальному ус­ловию. Условие нормальности (см. [Gottwald 2001]) для некото­рой связки ф заключается в том, что ограничение φр на множестве истинностных значений {0, 1} есть классическая связка. Логика BL рассматривается в [Gottwald 2001] (без указания, что она есть где доказывается, что каждая трехзначная связка, ко­торая удовлетворяет условию нормальности, может быть определена посредством исходных связок BL. Аналогичные теоремы пе­риодически появляются в литературе, однако, заметим, что данное утверждение является следствием теоремы [Финн 1969] о функциональной предполноте Последнее означает, что добав­ление к связки, не содержащейся в ней, превращает с этой связкой в трехзначную функционально полную логику.

Отсюда можно перейти к еще одному существенному отличию от С2, которое состоит в следующем. Как известно, классическая двузначная логика является функционально полной, т. е. любая бу­лева функция может быть выражена, например, посредством им­пликации и отрицания. В это не так, например, нельзя посредст­вом связок Лукасевича ~ и → выразить связку Слупецкого Тр, которая переводит любое значение р в 1/2: