Дискретно-непрерывная математика (стр. 15 )

1936], построившего бесконечную последовательность матриц, ко­торая финитно аппроксимирует Int. Эти понятия объясняются в следующей главе,

Впервые G3 была аксиоматизирована Я. Лукасевичем [Lukasiewicz 1941]. Она получается за счет добавления к. ак­сиомам интуиционистского пропозиционального исчисления Int аксиомы

К логике G3 мы еще вернемся, когда будем изучать функцио­нальные свойства многозначных логик.

3.2.1. Трехзначная логика Брауэра G3* (дуальная к G3)

Представляет интерес рассмотреть логику, дуальную к G3, которую назовем трехзначной логикой Брауэра G3*. Импликацию , дуаль­ную к , определим следующим образом:

.

Отрицание дуальное к определяется как

Тогда истинностные таблицы длявыглядят сле-

дующим образом:

Дизъюнкция и конъюнкция те же самые, что и в G3.

Легко убедиться, что здесь, в отличие от G3, закон исключен­ного третьего является тавтологией, а закон Дунса Скота

— тождественно ложной формулой. Последнее говорит о том, что G3 является паранепротиворечивой логикой (см. раздел 3.5).

3.2.2. Взаимоотношение G3 с

Впервые определимость связок из G3 посредством была пред­ставлена Г. Мойсилом [Moisil 1963]. В несколько упрощенном ви­де это выглядит так:

.

(Эта "упрощенная" формула в 2009 г. была упрощена студенткой 4-го курса философского факультета МГУ (кафедра логики) :

)

Это позволяет дать аксиоматизацию на основе интуициони­стской импликации, что и было сделано Л. Итурриоз [Ititrrioz 1977].

Очевидно, что G3 не эквивалентна поскольку ~р нельзя вы­разить связками из G3. Однако если добавить связку ~к G3, то, как показал Мойсил [Moisil 1963], получим

В [Cignoli 1982] имеется упрощение:

3.3. Трехзначная логика Бочвара Вз

Другая известная трехзначная логика была построена русским ло­гиком [Бочвар 1938] в связи с проблемой разреше­ния логических антиномий, в первую очередь парадокса Рассела. В данной системе третье истинностное значение предлагается интер­претировать не столько как промежуточное между истиной и ло­жью, сколько как парадоксальное значение или даже как «бессмыс­лица». Анализ логических и семантических парадоксов состоит в доказательстве бессмысленности парадоксальных высказываний. Поэтому логика Бочвара В3 и называются логикой бессмысленно­сти,

Логика В3 имеет следующие исходные связки: где ~р

есть отрицание Лукасевича, имеет истинностную таблицу точно такую же, как в и называется внешним утверждением. По - скольку посредством связок определима связка

то В3 есть подсистема Но В3 есть собственная подсистема так как из построения "нормальных форм" для В3 в [Финн 1971; 1974] следует, что импликация Лукасевича → не определима в В3 (точно так же, как неопределимы связки Таким образом, В3

не является подсистемой G3, a G3 не является подсистемой В3.

Через обычным образом определяются другие связки ( называет их внутренними связками):

Тогда истинностные таблицы для внутренних связок выглядят следующим образом:

Обратим внимание на особенность внутренних связок, которая заключается в том, что приписывание хотя бы одному из аргументов значения 1/2 оказывается достаточным для того, чтобы вся формула имела значение 1/2. Такое свойство внутренних связок является следствием интерпретации 1/2 как «бессмысленность», т. е. бессмысленность влечет за собой бессмысленность.

3.3.1. Два уровня В3: внешние логические связки

Особую роль в В3 играет связка (будем обозначать ее как ), по­средством которой следующим образом определяется отрицание дизъюнкция конъюнкция импликация и эквивалениия

Эти связки называет внешними и они задаются следующими истинностными таблицами:

Отметим важную особенность приведенных истинностных таблиц, которая состоит в том, что внутри них имеются только ис­тинностные значения 1 и 0. Обозначим логику, основанную на этих связках, посредством

Под фрагментом некоторой логики L с множеством связок F будем понимать логикус множеством связок такую, что по­средством F определимы связки из множествано не наоборот. Отсюда следует, чтоесть фрагмент логики В3. Этот фрагмент оказался необычным. Адаптируя терминологию к языку настоящей работы, можно сказать, что является изоморфом классической пропозициональной логики С2. Последнее озна­чает, что истинностные таблицы для логических связок вери­фицируют аксиомы С2 (см. аксиоматизацию С2 посредством в разделе 1.4), а правило modus ponens сохраняет классическое от­ношение логического следования, Такие изоморфы будем называть нормальными изоморфами. Таким образом, логика В3 содержит фрагмент, изоморфный С2.

В итоге, логика В3 имеет два уровня. Первый уровень образуют формулы с внутренними связками, второй уровень образуют фор­мулы с внешними связкамиВнутренние формулы суть выра­зительные средства и представляют язык-объект, в котором рас­сматриваемые факты не могут быть доказаны; внешние формулы суть дедуктивные средства, с помощью которых доказываются ут­верждения о внутренних формулах, и в этом смысле внешние формулы представляют метаязык. Логикой внешнего уровня, как мы видели, является классическая логика С2. Понятие «бессмыс­ленность» в этом языке относится к формулам внутреннего уровня: бессмысленность некоторой формулы А означает, что приведено доказательство формулы «А не имеет смысла».

Пустьпредставляет собой внешнюю связку с таблицей ис­тинности, приведенной выше для (см. 3.1.2). Здесь содержа­тельно _ обозначает «р не имеет смысла» и определяется через исходные связки В3 так: