Дискретно-непрерывная математика (стр. 1 )

Парадигма развития науки

Методологическое обеспечение

А. Е. Кононюк

ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ МАТЕМАТИКА

Книга 9

Математическая логика

Часть 2

Киев

«Освіта України»

2017

УДК 51 (075.8)

ББК В161.я7

К213

Рецензенты:

— к-т физ.-мат. наук, доц. (Национальный тех—нический университет «КПІ»);

— д-р физ.-мат. наук, проф.,

— к-т техн. наук, доц. (Киевский университет эко—номики, туризма и права);

— д-р техн. наук, проф. (Национальный ави— ационный университет).

К213 Дискретно-непрерывная математика. (Начала). — В 12-и кн. Кн 9, ч. 2,— К.: 2017. —464с.

ISBN 978-966-373-693-8 (многотомное издание)

ISBN 978-966-373-694-5 (книга 9, ч.2)

Многотомная работа содержит систематическое изложение математических дисциплин, исспользуемых при моделировании и исследованиях математических моделей систем.

В работе излагаются основы теории множеств, отношений, поверхностей, пространств, алгебраических систем, матриц, графов, математической логики, теории вероятностей и массового обслуживания, теории формальных грамматик и автоматов, теории алгоритмов, которые в совокупности образуют единную методолгически взамосвязанную математическую систему «Дискретно-непрерывная математика».

Для бакалавров, специалистов, магистров, аспирантов, докторантов и просто ученых и специалистов всех специальностей.

УДК 51 (075.8)

ББК В161.я7

ISBN 978-966-373-693-8 (многотомное издание) © , 2017

ISBN 978-966-373-694-5 (книга 9, ч.2) © Освіта України, 2017

Оглавление

Часть первая................................................................................................12

Многозначная логика………………………………………………….....12

Предисловие……………………………………………………………....12

1. Классическая логика………………………………………………......20

1.1. Логические связки. Истинностные таблицы.....................................20

1.2. Законы логики высказываний.............................................................22

1.3. Функциональная полнота. СДНФ......................................................24

1.3.1. Полиномы Жегалкина......................................................................25

1.3.2. Штрих Шеффера..............................................................................26

1.4. Логическое следование. Аксиоматизация. Адекватность...............27

1.5. Историческая справка.........................................................................31

1.6. Логика предикатов..............................................................................32

1.6.1. Язык логики предикатов..................................................................32

1.6.2. Интерпретация и аксиоматизация...................................................34

1.6.3. Основные свойства: полнота, теорема Линдстрёма, неразрешимость..........................................................................................37

2. Интуитивное понимание многозначной логики

и ее возникновение…………………………………………….................40

2.1. Интуитивное понимание многозначной логики…………..............40

2.2. Источники многозначности в логике................................................40

2.3. Доказательство независимости аксиом............................................41

2.4. Аристотелевский фаталистический аргумент..................................44

2.5. Предыстория появления многозначной логики...............................46

3. Трехзначные логики..............................................................................47

3.1. Трехзначная логика Лукасевича.................................................47

3.1.1. Отличия трехзначной логики Лукасевича

от классической С2....................................................................................49

3.1.2. Трехзначная модальная логика Лукасевича.................................52

3.2. Трехзначная логика Гейтинга Ga.....................................................54

3.2.1. Трехзначная логика Брауэра G3* (дуальная к G3).........................55

3.2.2. Взаимоотношение G3 с ..............................................................56

3.3. Трехзначная логика Бочвара Вз.........................................................56

3.3.1. Два уровня В3: внешние логические связки..................................58

3.3.1.1. Трехзначные изоморфы С2...........................................................59

3.3.2. Аксиоматизация В3……………………………..............................61

3.3.3. Логика Холдена Н3 и логика Эббингауза Е3..................................63

3.4. Трехзначные (регулярные) логики Клини........................................64

3.4.1. Сильная логика Клини К3................................................................64

3.4.2. Слабая логика Клини.................................................................67

3.4.3. Регулярность и монотонность.........................................................68

3.4.4. Промежуточная логика Клини (логика Lisp)........................69

3.4.4.1. Промежуточная логика Клини,(логика Twin Lisp)............70

3.4.5. Взаимоотношения между регулярными логиками Клини...........71

3.4.6. Р-логики.................................... .......................................................73

3.5. Трехзначные паранепротиворечивые логики..................................74

3.5.1. Логика Приста LP.................................... .......................................75

3.5.2. Логика PСont.................................... ...............................................76

3.5.2.1. Логика PCont как RM3.................................................................77

3.5.2.2. Решетка паралогик.................................... ..................................78

3.5.3. Логика J3.................................... ......................................................80

3.5.4. Логики Р1 и Р2………………….......................................................81

3.5.4.1. Параполные логики I1 и I2, дуальные к Р1 и Р2...........................83

3.6. Штрих Шеффера для некоторых трехзначных логик......................83

3.7. Некоторые применения.................................... ..................................85

3.8. Общие вопросы.................................... ...............................................87

3.9. Решетка импликативных расширений регулярных логик Клини...89

4. Логические матрицы и решетки............................................................92

4.1. Понятие логической матрицы............................................................92

4.2. Основные свойства логических матриц............................................93

4.3. Операции над матрицами.................................... ..............................98 4.3.1. Прямое произведение матрицы на саму себя.......................99

4.3.2. Другие операции. Финитная аппроксимируемость.....................101

4.4. Понятие решетки. Основные свойства............................................104

4.4.1. Булевы алгебры.................................... ..........................................106

4.4.2. Другие "логические" алгебры........................................................108

4.5. Алгебраическая семантика………....................................................110

4.5.1. Алгебраизация ...........................................................................114

4.5.2 Алгебраизация некоторых других трехзначных логик................115

5. Конечнозначные логики.................................... ..................................116

5.1. Конечнозначные логики Лукасевича.........................................116

5.1.1. Матричная логика ....................................................................117

5.1.2. Отношения между конечнозначными логиками ...................118

5.1.3. Ji-операторы.................................... ................................................118

5.1.4. Оператор Слупецкого для .......................................................119

5.1.5. Критерий Мак-Нотона выразимости операций в ..................119

5.1.6. Аксиоматизация .......................................................................120

5.1.7. Кардинальная степень полноты ..............................................123

5.1.8. и п-значные логики Гёделя Gn.................................................123