Дискретно-непрерывная математика (стр. 79 )

Бивалентный подход к логике развивался также в [Routley and Meyer 1976] и [Batens 1982] и других работах. Особое внимание привлекло применение данного подхода к конечнозначным логи­кам Лукасевичакак наиболее известным. Интересно, что 10-я глава монографии Г. Малиновского [Malinowsld 1993] называется «Классическая интерпретация многозначных логик». В качестве объекта для изучения берутся конечнозначные логики Лукасевича и рассматриваются подходы Р. Сушко, Д. Скотта и А. Уркварта.

Однако подчеркнем, что в отличие от формального подхода Сушко были предприняты попытки содержательно проинтерпре­тировать истинностные значения и сами логические связки.

10.5. Интуитивная интерпретация

Большую известность приобрела семантика крипковского типа

для и некоторых других конечнозначных логик, предложенная А. Урквартом в [Urquhart 1973].

(Здесь также предложена семантика для п-значных логик Поста и для логики Бочвара с внутренними связками. См. также [Dahn 1974]. На логику Лукасевича свою семантику Уркварту распространить не удалось. Однако крипковская семантика для бесконечнозначных логик, основанных на t-нормах, куда входит и (см. выше раздел 9.4), как пропозициональных, так и предикатных, рас­смотрена в [Monlagna and Sacchetti 2003]. См. также работу [Bdziau 2006], где сравниваются функции оценки как гомоморфизм между алгеброй языка и ал­геброй истинностных значений в многозначных логиках и функции оценки в крипковских семантиках, использующих только два значения.)

Он определяет такое отношение между натуральными числами множества и формулами логики, что имеет место следующая

Лемма. Если

Пусть Var есть множество пропозициональных переменных. Роль оценок в. выполняется отображением таким,

что отношениет. т.т., когда удовлетворяет

лемме. Отношение расширяется на множество всех формул, со­ответствующих условиям, зависимым от связок. Тогда формула А является х-истинной в если для произвольного F

такого, как рассмотрено выше. Формула α является -истинной т. т.т., когда она истинна в точке 0, т. е. выполнено, что является семантикой системы, определенной данной матрицей когда множество всех - истинных формул равно содержанию т. е. когда

Для п-значных логик Лукасевичадолжно удовлетворять следующим условиям:

Вместо приведения доказательства эквивалентности между этой моделью и матрицами Лукасевича посмотрим, каким образом Уркварт пытается установить связь между формальной семантикой и интуитивными соображениями.

Здесь множество точек (миров) в модели интер-

претируется как множество моментов времени, где 0 есть момент настоящего времени, а п-1 - последний элемент в Sп- зафиксиро­ван в качестве некоторой будущей даты. Таким образом, читается как «А доказуемо в момент х». Высказывание может быть доказуемым или не доказуемым в данный момент. Например, вы­сказывание о будущем событии может быть доказуемым или не доказуемым сейчас. Однако, если А доказуемо сейчас, то оно дока­зуемо и во все последующие моменты. Это означает, что мы дума­ем о высказываниях не как о неопределенных по времени (temporally indefinite) (например, «Сейчас Линкольн является президентом»), а как об определенных по времени (temporally definite) (например, «Линкольн является президентом в 1971 году н. э.»). До сих пор наше неформальное объяснение, считает Уркварт, нахо­дится в соответствии с философской мотивировкой, данной в [Lukasiewicz 1930].

При описанной выше интерпретации импликация Лукасевича А → А доказуема в х, если и только если всегда, когда А доказуема в момент у, В доказуема в момент х+у (т. е. в момент на х моментов отстоящий в будущее oт у). Формула ~А доказуема в момент х, если и только если А не доказуема в момент, который на х моментов предшествует последнему моменту в нашем временном ряду. Таким образом, обе связки Лукасевича — «импликация» и «отрицание» - проявляют значительные отличия от обычных операторов импликации и отрицания.

Уркварт говорит; что такой способ понимания выявляет источники трудностей в достижении полностью интуитивной интерпретации многозначных логик Лукасевича, и он утверждает, что «естественные» связки импликации и отрицания скорее должны удовлетворять следующим стандартным условиям:

т. т.т,, когда для некотороговсегда,

когда

Обратим внимание на рецензию Д. Райна [Rine 1974], в кото­рой содержательная интерпретация для была подвергнута критике. Райн отмечает, что смысл леммы не всегда согласуется с синтаксисом естественного языка. Рассмотрим следующее утвер­ждение α: «Джон играет в теннис»; и пусть {0, ..., п} обозначает временное пространство с того времени, когда Джон впервые играет в теннис (0), и до того времени, когда он последний раз играет в теннис (п). Тогда, продолжает Райн, не ясно, почему не могут существовать х, у, где

х < у такие, что А имеет место во всех но не между п-х и п-у.

Очень схожая семантика предложена Д. Скоттом в [Scott f: 1973], где он предлагает равенство вида для

читать как «(утверждение) А истинно в степени i». Скотт

предполагает, что числа в ряду символизируют степени

заблуждения в отклонении от истины (degrees of error in deviation i from the truth). Степень 0 - самая сильная и соответствует «совер-шенной» истине или отсутствию заблуждения: все тавтологии лот гики Лукасевича являются схемами утверждений, имеющих в каче­стве своей степени заблуждения 0. Таким образом; истинностные значения в логиках Лукасевича интерпретируются как степени заблуждения, а каждаяесть логика заблуждений (logic of errors) [Scott 1976].

Проблемы возникают, когда в соответствии с данной интерпретацией истинностных значений мы пытаемся придать содержательный смысл логическим связкам из На это указывается в [Smiley 1976].

В итоге мы приходим к тому, что любая содержательная интерпретация истинностных значений всталкивается с серь­езными трудностями. И еще большие трудности возникают, когда это содержание мы пытаемся перенести на интерпретацию логиче­ских связок Все дело в том, и на это указывает сам А. Уркварт [Urquhart 1986], что логика неопределенностей, логика вероятностей и логика заблуждений не являются истинностно-функциональными логиками, и поэтому любая подобная интерпретация не является адекватной. Напомним, что уже А. Прайор [Prior 1957b], интерпретируя как логику случайности (т. е. третье истинностное значение интерпретируется как случайность), приходит к выводу, что при подобной интерпретации конъюнкция в не может быть истинностно-функциональной. Итак, основная трудность содержательной интерпретации многозначных логик состоит в том, что, вкладывая содержание (смысл) в определенное множество истинностных значений, мы затем пытаемся совместить этот смысл с истинностно-функциональной семантикой многозначных логик, Что же касается непосредственно самой то, как мы уже знаем из теоремы (см. выше раздел 7.6.1), она имеет сугубо теоретико-числовую природу и связана со свойствами простых чисел.