Дискретно-непрерывная математика (стр. 17 )

ключительно громоздкая (29 аксиомных схем плюс сокращения), но с единственным правилом вывода МР.

3.3.3. Логика Холдена Н3 и логика Эббингауза Е3

С, Холден [Hallden 1949] конструирует трехзначную логику Н3 (Холден обозначает её посредством С) с двумя выделенными зна­чениями, в которой независимо от третье истинност­ное значение интерпретируется как "бессмысленность". Логика Н3 имеет следующие исходные связки (Связка в

дальнейшем будет встречаться, поэтому обозначим ее посредством

Легко показать, что логика Н3 содержится в В3, но не наоборот, т. е. расширение Н3 одним из модальных операторов или пре­вращает Н3 в В3. Отсюда следует, что логика Н3 вообще не имеет нормальных изоморфов С2. К этому факту мы вер­немся в разделе (7.5.3),

К, Сегерберг [Segerberg 1965], исходя из работы С. Холдена, конструирует несколько трехзначных систем логики бессмыслен­ности, одной из которых является не что иное, как трехзначная ло­гика Бочвара Вз с теми же самыми исходными связками, но с двумя выделенными значениями,

Представляет интерес расширение Вз, которое представлено в [Ebbmghaus 1969] (см, также [Firm and Grigolia 1993]). Здесь к В3 добавляется дизъюнкция

Полученная система обозначается как Е3. Обратим внимание, что Е3 может быть представлена как расширение В3 посредством добавления импликации Собочиньского (см. ниже раздел 3.5.2.1), поскольку

3.4. Трехзначные (регулярные) логики Клини

Здесь мы рассмотрим класс регулярных трехзначных логик Клини, самой известной из которых является сильная логика Клини К3. Слабая логика Клини есть не что иное, как логика с внутрен­ними связками Бочвара. Oткрыта промежуточная (ре­гулярная) логика Клини (логика Lisp). Ее свойства оказались весьма необычными, а именно дизъюнкция и конъюнкция неком­мутативны. Особый интерес здесь представляет промежуточная р-логика.

3.4.1. Сильная логика Клини К3

Разработка теории рекурсивных функций приводит к идее не всюду определенной (частичной) функции. В [Шеепе 1938] С. Клини кон­струирует трехзначную логику К3 (см. также [Клини 1957]), в которой введение логических связок должно моделировать рекур­сивные функции, вычисление значения которых никогда не закан­чивается. Отсюда третье истинностное значение может ин­терпретироваться как «не определено», «неизвестно», «неразрешимо». Таким образом, третье истинностное значение вводится не по онтологическим соображениям, как у Лукасевича, а скорее по эпистемологическим.

Опять же возникает проблема определения трехзначных логи­ческих связок. С. Клини приходит к выводу, что эти связки должны определяться регулярными таблицами в следующем смысле: «дан­ный столбец (строка) содержит 1 в строке (столбце) для 1/2 только при условии, что этот столбец, (строка) состоит целиком из 1; аналогично для 0». В итоге С. Клини дает следующее табличное определение ло­гических связок:

Содержательная интерпретация логических связок, например, дизъюнкциивыглядит следующим образом: дизъюнкция:

истинна, если р истинно (и здесь ничего не надо говорить или q истинно (и здесь ничего не надо говорить ложна, если р и q оба ложны; определена только в этих случаях (а поэтому не оп­ределена в остальных). В результате в К3 имеет ту же самую истинностную таблицу, что и в Совпадают истинностные таблицы также для т. е К3 является фрагментом

Итак, приведенные таблицы позволяют установить принципи­альную неравноправность значения 1/2 со значениями 1 и 0, по­скольку, в отличие от 1 и 0, 1/2 не несет никакой информации или, по-другому, выражает факт отсутствия информации.

Только что рассмотренные регулярные истинностные таблицы С Клини называет сильными (strong), и при этом они определяются как самые сильные из возможных регулярных расширений класси­ческих двузначных таблиц, т. е. они регулярны и имеют 1 или 0 в каждом месте, где какое-либо регулярное расширение 2-значных таблиц может содержать 1 или 0 (что именно: 1 или 0, — это опре­делено однозначно). Соответствующие связки названы сильными.

Примером нерегулярной истинностной таблицы как раз явля­ется таблица для импликации Лукасевича Отсюда видно, что принципиальное отличие К3 от состоит только в том, что в К3 а в Но тогда импликацию в К3 можно

определить, как это делается в С2, т. е.и это позво-

ляет развивать трехзначную логику К3 не включая в качестве ис­ходной связки. Однако в силу таких свойств импликации различие между Кз иоказалось настолько существенным, что в К3 при выделенном значении 1 вообще не существует тавтологий. Это следует из того простого факта, что все связки К3 сохраняют значе­ние 1/2, когда только оно приписывается аргументам.

Совсем другая ситуация возникает, если рассмотреть логику с исходными связками как в К3, но с двумя выделенными значения­ми: 1 и 1/2. Подобную логику обозначим посредством К32 . В [Rescher 1969:] утверждается, что класс тавтологий К32 совпадает с классом тавтологий классической логики С2 (правило МР здесь не сохраняет тавтологию). Специально логике К3 и доказа­тельству этого утверждения посвящена статья [Martin 1975] (см. также [Epstein R.L. 1990]).

Р. Эпштейн это делает следующим образом. Покажем, что формула A не является классической тавтологией, т. т.т., когда най­дется такая оценка е в К3, что е(А) = 0.

Каждая оценка v в С2 есть оценка в Кз, и если формула прини­мает значение 0 при некоторой оценке в С2, то она принимает зна­чение 0 в К3 при этой же оценке. Теперь пусть найдется оценка е в К3 такая, что е(А) = 0. Определим оценку е в С2 следующим обра­зом: т. т.т., когда и.т. т.т., когда е(р) = 0. Легко доказать индукцией по построению формулы, что, если е(В) = 0, то е'(В) = 0, и если Таким образом, е(А) = 0 и неверно, что А общезначима в С2. Эпштейн также отме­чает, что внутренний фрагмент трехзначной логики Бочвара обла­дает аналогичными свойствами,

Долгое время считалось, по аналогии с что множество тав­тологий трехзначной логики с исходными связками как в но с двумя выделенными значениями 1 и 1/2 (обозначим подобную ло­гику посредством также совпадает с С2. юркетт (см. [Rescher 1969]) нашел контрпример:

(, как мы уже говорили нашла другой контрпример:

и обратила внимание на то, что если формула А есть классическая тавтология, а формула В есть классическое противоречие, и А и В не содержат вхождений импликации, то формула принимает значение 0 в когда пропозициональные переменные принимают значение 1/2. Таким образом, определен це­лый класс соответствующих формул.)

Эта формула является классической тавтологией, но в когда р принимает значение 1/2, вся формула принимает значение 0.