Дискретно-непрерывная математика (стр. 26 )

Обобщенная матрица есть пара где А есть алгебра

соответствующего типа и есть произвольное семейство

подмножеств А. Обобщенные матрицы имеют хорошо известное дуальное представление как пара где С есть оператор

замыкания. Заметим, что в известной статье [Brown and Suszko 1973] вводится термин «абстрактная логика» где А есть абстрактная алгебра, а С есть абстрактная операция - присоединения следствий (без структурности). Обобщенные матрицы были также переоткрыты в [Dunn and Hardegree 2001] под названием «атласы» (atlases). Специально обобщенным матрицам, их применению и развитию посвящена статья [Font 2003].

В заключение введем понятие матричной семантики. Говорят, что класс М логических матриц является матричной семантикой для логики L, если т. т.т., когда для каждой и каждой оценки v на следует

Импликация слева направо говорит о том, что L корректна относительно М, а импликация в другую сторону говорит о том, что L полна. Другими словами, М является матричной семантикой для L, если каждая матрица в М есть модель для L и, более того, для каждого Г и А таких, что имеется модель для L в М, которая удовлетворяет этому условию, т. е. имеется оценка v на модели, которая приписывает формулам из Г выделенные значения, а формуле А не выделенное значение.

В итоге мы имеем: каждая логика (независимо от того, как она определена) имеет, матричную семантику. Этот результат говорит

о преимуществе матричной семантики, т. е. матричная семантика является универсальной, что позволяет применять многие методы универсальной алгебры и теории моделей при семантическом исследовании всех пропозициональных логик.

Матричная семантика занимает важное место в процессе апгебраизащш логики (см. [Jansana 2006]).

4.3. Операции над матрицами

Обратим внимание на то, что логическая матрица представляет собой систему где- некоторая универсальная алгебра,

а ее сигнатура образует множество матричных операций О. Отсюда все теоретико-модельные операции, которые используются на алгебраических структурах, применимы и к логическим матри­цам.

(Здесь сделаем важное замечание относительно того, что сам пропозициональный язык порождает алгебру формул

Тогда логической матрицей для является любая матрица с алгеброй подобной алгебре т. е. операции обеих алгебр имеют одну и ту же арность. Это позволяет определить оценку языка как гомоморфизм Тогда формула А истинна, если и А является тавтологией, если для каждого гомоморфизма h языка )

Некоторые понятия окажутся нам полезными. Так, является подматрицей если есть подалгебра

(это значит, что операции из замкнуты на некотором подмножестве Имеет место следующий

важный факт: если

Пусть J есть любое множество индексов. Для каждого пусть есть определенная матрица для языка S. Мы

можем образовать прямое произведение алгебры и

образовать произведение ее подмножества В

результате матрица называется произведением

матриц и обозначается посредством Имеет место следующая теорема [Jaskowski 1936]:

Отсюда следует, что операция прямого произведения логических матриц сохраняет класс тавтологий исходной матрицы.

Заметим, что в общем случае операция прямого произведения алгебр не сохраняет свойства исходной алгебры. Поэтому вводится понятие подпрямого произведения (см. [Burns and Sankappanavar 1981]): алгебра является подпрямым произведением индексированного семейства алгебр, если

гдеесть проективное отображение.

4.3.1. Прямое произведение матрицы на саму себя

Операция произведения логических матриц (впервые введена в [Wajsberg 1935] нашла широкое применение при решении различных логических проблем. Специальное значение имеет прямое произведение матрицы классической двузначной логики С2 произвольное число раз на саму себя. Результирующая матрица окажется полезной при интерпретации многозначных логик в терминах классических истинностных значений 1 и 0 (см. гл. 9). Здесь же в качестве примера рассмотрим случай произве­дения , т. е. матрицу

Пусть Тогда результирующая

матрица имеет вид:

Обозначим пары где посредством

Операции на этих парах определяются

покомпонентно (см. общий случай произведения матрицына саму себя в разделе 10.6).

Тогда табличное определение новых матричных операций выглядит следующим образом:

Обозначим посредством 1, b, п и 0 последовательности <11>, <10>, <01>, <00> соответственно, где 1 интерпретируется как «истина», 0 - «ложь», а b и п - промежуточные истинностные значения. Тогда приведенные выше таблицы примут следующий вид:

Обратим внимание, что здесьт. е. операции

и не являются max и min соответственно.

Именно таким образом была построена Я. Лукасевичем в 1953 г. четырехзначная логика С4, которая легла в основу его -модальной системы (подробно об этом см, ниже в разделе 5.4.2). Заметим, что последняя была построена им опять же для опро­вержения фаталистического аргумента Аристотеля.

Матрица как и мат-

рицаявляется характеристической для С2. Это свойство, как

следует из теоремы С. Лськовского, сохраняется для произвольного

числа умножений (конечного и бесконечного) матрицы на

саму себя. Отсюда следует, что классическую пропозициональную логику С2 можно представить как конечнозначную с числом истинностных значений 2п, так и бесконечнозначную с числом истинностных значений но она единственная, которая имеет