Дискретно-непрерывная математика (стр. 59 )

-алгебра является многообразием:

Эта аксиоматика независима.

В [Iseki and Tanaka 1978] развиты основные свойства ВСК-алгебр и введено понятие ограниченной коммутативной ВСК-алгебры, т. е. добавлена 1. Здесь показано, что ограниченная комму­тативная ВСК-алгебра образует дистрибутивную решетку, а с усло­вием

она есть булева алгебра.

Если к аксиомам коммутативной ВСК-алгебры добавить ак­сиому

то получим аксиоматизацию ограниченной коммутативной ВСК-алгебры [Traczyk 1979].

Заметим, что в [Rodriguez 1980] коммутативные ВСК - алгебры выступают под названием «алгебры Сэйла». Из результатов этой работы, а также из работы [Romanowska and Traczyk 1980] следует, что ограниченная коммутативная ВСК-алгебра есть W-алгебра. В последней работе указанные алгебраические структуры изучались как дуальные друг к другу.

Обратим внимание, что в [Buff 1985] совершенно независимым образом была введена ограниченная коммутативная ВСК - алгебра (под другим названием) и доказана эквивалентность с MV-алгебрами Чэна. Таким образом, MV - алгебры и ограниченные ком­мутативные ВСК-апгебры эквивалентны. Специально этому вопро­су посвящена статья Д. Мундичи [Mundici 1986].

Перечисленные алгебраические структуры, эквивалентные MV - алгебрам, отнюдь не единственные, а только лишь первона­чально открытые. MV - алгебры под названием «symmetric brick» были переоткрыты [Bosbach 1981] в формулировке П. Мангани. Эта структура была получена в ходе исследования определенных решеточно-упорядоченных групп (l-групп).

Начиная с фундаментальной работы Д. Мундичи [Mundici 1986], интерес к теории MV - алгебр и к самой повысился чрез­вычайно в силу глубоких связей, которые она имеет с функцио­нальным анализом (AF С*-алгебры); с теорией кодирования [Mun­dici 1992], с квантовой физикой [Mundici 1993], с геометрией [Mundici 1996]. Была доказана эквивалентность MV - алгебр другим важным алгебраическим структурам (см. [Ноо 1990], [Di Nola and Lettieri 1994] и [Cignoli and Mvndici 1997]). [Martinez 1990] доказал для W-алгебр теорему типа стоуновского представления. Отметим также, что теории MV - алгебр посвящен специальный выпуск журнала «Mathware & Soft Computing», 1995, Vol. II, No. 3. В предисловии здесь указывается (с приведением со­ответствующей литературы) на глубокую связь теории MV - алгебр с теорией нечетких множеств, аналогичную связи булевых алгебр с обычной теорией множеств. См. также монографию П. Хаека [Hajek 1998]. (Этот аспект логикимы рассмотрим в следующей главе). Наконец, сошлемся на книгу [Cignoli, D'Ottaviano and Mun-dici 2000], полностью посвященную алгебраическому рассмотре­нию бесконечнозначной логики Лукасевича, и на статью [Магга and Mundici 2003], где рассматриваются последние результаты в этой области.

Заметим, что интерес к алгебраическим исследованиям и родственным ей системам только возрастает. В последнее время в отдельное направление сложилось исследование некоммута­тивных MV-алгебр {псевдо MV -алгебры) [Georgescu and Iorgulescu 1999]. В результате появилась пропозициональна некоммутативная бесконечнозначная логика Лукасевича [Leustean 2006].

8.1.2. Изменение множества истинностных значений

Обратим также внимание на два расширения связанных с вве­дением отрицательных чисел. В первом случае (см. [Chang 1963]), в качестве множества истинностных значений берется замкнутый' интервал и исследуется логикаи соответствущие ей

MV - алгебры. Во втором случае (см. [Карпенко 1985] и [Karpenko 1988]) в качестве множества истинностных значений берется мно­жество с порядковым типом т. е.

Строится логика и для нее фактор-семантика (см. подробно в разделе 10.6.1).

В обоих случаях происходит расширение исходной логики но с теми же самыми логическими связками, лишь «приспособлен­ными» к новому можеству истинностных значений. Расширение же новыми логическими связками мы рассмотрим ниже (см. раздел 8.3).

8.2. Интуиционистская логика Int и класс суперинтуиционистских логик

Первая серьезная критика классической логики привела к созданию логической системы, не только разрушившей диктат одной логики, но приведшей впоследствии к открытию континуальности логиче­ского универсума.

8.2.1. Появление Int

Интуиционистская логика Int первоначально возникла как логика интуиционистской математики, но впоследствии получила более широкое применение как чисто логическое, так и философское. Основоположником направления явился голландский ученый Л. (1881-1966), который поставил себе целью полно­стью освободить математику от трудностей, связанных с канторовским учением о множествах. В собственной программе, названной им «интуиционистской», Брауэр предложил строить математику на базе интуитивно ясных потенциально осуществимых «умственных математических построений», совершенно не прибегая при этом к представлению о «множестве». Критике подверглось, в первую очередь, классическое понятие существования. Интуиционистское доказательство предложения «существует такое n, что Р(п)» долж­но быть конструктивным в следующем смысле: это доказательство действительно представляет пример такого п, что Р(п), или, по крайней мере, указывает метод, позволяющий в принципе найти такой пример. Классическое понимание, говорящее, что где-то в завершенной бесконечной совокупности всех натуральных чисел встречается такое п, что Р(n), для них не годится, поскольку они не рассматривают натуральные числа как образующие завершенную совокупность. В ходе реализации этой программы Брауэр сделал выдающееся открытие, совершившее переворот в логике. В 1908 г, он публикует на голландском языке статью под вызывающим на­званием: «О достоверности логических принципов» (см, англ. пер. [Brouwer 1975]), где обосновывает, что при интуиционистском по­нимании суждений закон исключенного третьего а вместе с ним и метод «от противного» (reductio ad absurdum) утрачивают традиционно приписывающийся им статус общелогических норм. Ложность отрицания указывает на недостаточность истинности и поэтому не влечет истинности утверждения. Отсюда классический закон снятия двойного отрицания также отбрасывается. Таким образом, рядом с классической логикой, переставшей теперь быть единственной наукой о способах рассуждений, возникла но­вая, итуиционистская, логика.

8.2.2. Основные свойства Int

Обратим внимание, что после работы Брауэра потребовалось разъ­яснение сложившейся ситуации и первой попыткой такого рода стала известная работа «О принципе tertium поп datum [Колмогоров 1925], где впервые дается (частичная) аксиома­тизация интуиционистской логики (Int) и впервые проводится по­гружение классической пропозициональной логики С2 в Int. В свою очередь, в 1928 г. (см. русс. пер. [Гливенко 1998]) опровергает гипотезу о трехзначночности Int, а в 1929 г. доказал фундаментальный факт об Int: произвольная пропозициональная формула А классически доказуема, если и только если доказуема в Int (см. русс. пер. [Гливенко 1998]).

Уже к концу 20-х годов логика Int, устоялась настолько, что ученик ейтинг в работе [Heyting 1930] смог предста­вить ее как дедуктивную систему. Например, аксиоматизация Int, как уже говорилось, получается из аксиоматизации классической логики С2, в формлировке (см. выше раздел 1.4), по­средством замены закона снятия двойного отрицания на закон Дунса Скота или она может быть представлена посредством удаления из С2 закона исключенного третьего.

Гёдель установил [Godel 1933] (без доказательства), что Int обладает дизъюнктивным свойством: если ~ выводима, то хотя бы одна из формул А или В выводима. Очевидно, С2 не обладает таким свойством. Это свойство выражает тот факт, что дедуктив­ный аппарат интуиционистского исчисления высказываний согла­сован с содержательным конструктивным пониманием дизъюнк­ции: доказать означает доказать хотя бы одну из этих формул. Заметим, что с помощью этого свойства просто доказыва­ется теорема об отсутствии конечной характеристической матрицы для Int (см. ниже). Первые результаты исследования Int оказались весьма не­обычными. Напомним, что трехзначная логика G3 (см. выше раздел 3.2) выступает в качестве модели для Int в [Heyting 1930], но никакая трехзначная матрица не является характеристической для логи­ки Int. В [Gddel 1932] К. Гёдель показал, что Int не имеет конечной характеристической матрицы, а между Int и С2 существует счетная последовательность матричных конечнозначных логик Понадобятся следующие свойства: