Дискретно-непрерывная математика (стр. 66 )

8.5.3. Логика RM

Логика RM считается «лабораторией релевантной логики» (К. Мейер), а по мнению А. Аврона: «Система RM наиболее инте­ресная (и на наш взгляд, также самая важная) среди логик, разрабо­танных школой Андерсона и Белнапа» [Avron 1987]. По суще­ству, система RM играет ту же роль среди релевантных логик, что и система S5 среди модальных логик.

Как мы уже знаем, добавление формулы

к R дает классическую логику. Однако можно ослабить эту форму­лу за счет подстановки р вместо q. Такая формула обозначатся по­средством М, а система R + М получила название логики RM (R-Mingle).

В начале 60-х годов началось активное изучение системы RM и в 1967 г. К. Мейером было установлено (см. [Anderson and Belnap 1975]), что характеристической матрицей для RM явля­ется бесконечнозначная матрица Т. Сугихары, предложенная для элиминации некоторых парадоксов материальной импликации [Sngihara 1955]:

где

Множеством выделенных значений D является множество на­туральных чисел.

Заметим, что матрица есть не что иное, как характеристи­ческая матрица М3 для трехзначной логики RM3 (см. выше раздел 3.5.2.1), которая аксиоматизируется посредством добавления к R следующих аксиом [Brady 1982]:

Доказательство полноты RM дает следствие. Предпо­ложим, высказывание А содержит п пропозициональных перемен­ных и в матрице есть Тогда т. т.т., когда А общезначима в

Опираясь на это следствие, Мейер доказывает разрешимость RM следующим образом. Каждое высказывание А имеет фиксиро­ванное конечное число п пропозициональных переменных. Исходя из указанного следствия, для данного А, т. т.т., когда А об-

щезначима вт. е. истинна в каждой интерпретации. Таких интерпретаций (2п)п; проверка А на каждой из них конечна. Эта ко­нечная проверка отбрасывает каждую не тавтологию А. Таким об­разом, система RM разрешима.

В [Dunn 1970] вводится понятие идемпотентного моноида Де Моргана посредством усиления и дается алгебраическое доказательство полноты RM. Здесь же показывается, что RM есть предтабличная логика, как S5 и а в статье [Dunn and Meyer 1971] представлено погружениев RM, откуда следует, что их множество теорем в импликативно-дизъюнктивно-конъюктивном языке совпадают (см. также [Avron 1986]). В силу этого некоторые авторы указывают на взаимоотношениес ре­левантными логиками. Однако RM не является релевантной логикой.

Добавление к R такой «безобидной» формулы, как резко меняет ситуацию: свойство релевантности не имеет места для RM. Как показал Р. Мейер в 1971 г. (см. [Anderson andBelnap 1975]), в RM выводима формула

34

Также выводим закон линейности

который, как мы знаем, не является интуиционистской формулой, в то время как позитивный фрагмент логики R является таковым.

8.5.3.1. Логикии

Особый интерес представляет импликативно-негативный фрагмент трехзначной логики Собочиньского S3 (см. выше раздел 3.5.2.1), аксиоматизированный в [Sobocirisla 1952]:

)

Правила вывода: МР и подстановка.

Выяснилось (см. [Parks 1972]), что эти аксиомы в точности аксиоматизируют импликативно-негативный фрагмент RM (обозначим его посредством а матрица из М3 с операциями ~ и →является характеристической для аксиом 1-5. Отсюда следует, что есть трехзначная логика, в то время как RM - бесконечнозначная (специально об этом см. также в [Avron 1984]). Отметим также, что в [Попов 1984] впервые представлена секвенциальная формулировка и оригинальная семантика для нее с двумя видами оценок.

Еще один результат относительно RM состоит в следующем. В этой же работе Б. Собочиньский ставит проблему аксиоматизации импликативного фрагмента S3, который обозначим посредством После целого ряда работ, начиная с А. Роуза [Rose 1953], наконец была получена следующая независимая ак­сиоматизация [Meyer and Parks 1972]: в приведенной только что аксиоматизации аксиомы (4) и (5) заменяются на аксиому

В этой же работе Р. Мейер и 3. Парке показывают, что есть в точности импликативный фрагмент RM, который обозначается посредством Заметим, что формула U не является интуицио-

нистской формулой. Таким образом, добавление формулы М к (такая система обозначается посредством и очевидно, что

все ее аксиомы являются интуиционистски значимыми) не образует импликативного фрагмента логики RM (!), т. е. RM не является консервативным расширением

Остается добавить, что формула U сыграет решающую роль при построении максимальной булевой решетки импликативных логик (см. ниже Приложение).

Новый результат относительно RM содержится в [Blok and Raftery 2004]. Оказывается, что в отличие от R здесь можно опре­делить связку дизъюнкции в терминах без использования отрицания В этой же работе содержится обширная литература об RM и её фрагментах.

Остается только добавить, что между R и RM содержится кон­тинуум логик, удовлетворяющих критерию релевантнети (см. [Dziobiak 1983]).

8.6. Паранепротиворечивая логикаи иерархия ее расширений

В разделе 3.5, где мы рассматривали трехзначные паранепро-тиворечивые логики (в дальнейшем PL), указывалось, что в таких логиках блокируется выводимость и, как следствие, за-

кон Дунса Скота

Отсюда также следует, что релевантные логики в силу критерия релевантности являются подклассом PL. В первой обстоятельной книге по PL [Priest, Routley and Norman 1989] подробно рассмотре­но возникновение PL и ее различные направления. См. также обзор в [Priest 2002]. Первый обзор на русском языке опубликован в [Игимуратов, Карпенко и Попов 1989]. Имеется справочник по па-ранепротиворечивым логикам [Beziau, CarnielH and Gabbcy (eds), 2007].

Обратим внимание на то, что исторически первой законченной системой PL является минимальная интуиционистская логика И. Йохансон J (см. [Johansson 1936]), которая получается из ин­туиционистской логики Int (см. выше раздел 8.2.2) посредством отбрасывания из нее закона Дунса Скота. Однако уже [Колмогоров 1925], принимая предпринятую Э. Брауэром критику традиционной логики, обнаруживает в по­следней еще один уязвимый, но обойденный критикой Брауэра ло­гический принцип, а именно закон Дунса Скота. Как указывает Колмогоров, эта аксиома «не имеет и не может иметь интуитивных оснований как утверждающая нечто о последствиях невозможно­го». Таким образом, рождение первой паранепротиворечивой сис­темы логики (импликативно-негативной) следует датировать 1925 г.

8.6.1. Логикаи ее свойства

Одной из наиболее известных паранепротиворечивых систем мож­но считать логикуНьютона да Косты, построенную им в [Da Costa 1963] (см. в особенности [Da Costa 1974]), и которая считает­ся самой «слабой» PL.получается из аксиоматизации Клини классической логики С2 (см. выше раздел 1.4) путем замены аксио­мы приведения к абсурду (аксиома 9) на закон исключенного третьего. От системы Клини систему отличает лишь одна ак­сиома, но за счет ослабления отрицания становится не выводим, например, закон Пирса