Дискретно-непрерывная математика (стр. 42 )

В [Виноградов 2006] предложен вариант логики аргумента­ции, который отличается от исходного тем, что функции «аргумен­тации» заданы на множестве всех пропозициональных формул, а не на множестве пропозициональных переменных. В качестве основы принимается логика Белнапа DM4; В [Виноградов 2006] преды­дущая логика аргументации расширяется связками и импли­кацией Для этого языка развивается метод семантических таб­лиц, который является обобщением метода Фиттинга.

Среди других четырезхначных логик, выделим четырех­значную паранепротиворечивую логику которая является

обобщением трехзначной логики Сетте Р1 (см. раздел 3.5.4). Эта логика была введена в [Carnielly and Lima-Marques 1999] и изуча­лась в [Fernandez and Coniglio 2003] под названием Р2. Она имеет следующую логическую матрицу:

где

Однако уже в [Setle and Carnielli 1995] встречается аналогич­ная матрица, а также на четырехзначный случай обобщается трех­значная параполная логика I1.

В заключение рассмотрим еще одну четырехзначную логику, которая одновременно является и паранепротиворечивой, и параполной, т. е. паранормальной. Эта логика исследуется в [Попов 2003] под названием AVP.

Язык логики AVP есть стандартно определяемый пропози­циональный язык где S есть множество

всех пропозициональных переменных языка . Квазиэле­ментарной формулой называется формула, которая не имеет вхож­дений ни одной из логических связок Логика AVP [Попов 2008]) есть наименьшее множество формул, которое замкнуто от­носительно правила подстановки и правила МР и которому при­надлежат все классические тавтологии в языке не содержащие вхождений и для всякой формулы А, не являющейся квазиэле­ментарной формулой, имеют место следующие формулы:

Для этой логики строится семантика обобщенных по [Войшвнлло 1988] описаний состояния. Более того, она имеет четырехзначную характеристическую матрицу с одним выделенным значением.

Сделаем предположение, что трехзначных средств недостаточ­но для построения паранормальной логики с соответствующей теоремой адекватности.

5.4.6. «Логика истинности» Тr и фаталистический аргумент Аристотеля

Еще раз обратим внимание на то, что расширение классической че­тырехзначной логики С4 и расширение логики Белнапа DM4 опе­ратором g в результате дает одну и ту же логику, а именно модаль­ную логику V2 со связкамикоторая функционально эквивалентна логикам со связками

5.4.6.1. Логика Тr

Предлагается рассмотреть логику, в которой вместо оператора не­обходимости используется оператор g, интерпретируемый как «оператор истинности» Т. Такую логику обозначим посредством Тr

В работе А. Тарского об истине 1933 года (см. [Тарский 1999]) указаны некоторые свойства (условия) предиката «истинный», которые должна выполнять аксиоматическая теория истины. Если перевести эти и другие условия на пропозициональ­ный случай и вместо предиката «истинный» взять оператор истин­ности Т, то приемлемые условия для этого оператора выглядят сле­дующим образом:

Если же имеется оператор ложностито естест-

венно, чтобы оба эти оператора коммутировали:

что согласуется с нормальным использованием этих понятий и позволяет естественным образом ввести отрицание: в нашем случае это

Заметим, что ни одно из этих пяти условий не выполняется в логике истинности Т" (соответственно и в логике ложности FL4), где в качестве оператора истинности берется эндоморфизм е2 (см. выше раздел 5.4.4.2).

( По аналогии с тем, как Лукаоевич ввел парные возможности, логику фон Вригта Т" можно также рассмотреть с парными операторами истинности Т1 и Т2 вместо эндоморфизмов е1 и е2. Тогда:

Однако, хотя здесь операторы Т1| и F2 коммутируют, но)

Однако эти вопросы решаются, если в качестве оператора ис­тинности Т возьмем эндоморфизм g. Тогда условия (I), (II), (ГУ) и (V) выполняются. Оператором ложности здесь является отрицание Де Моргана ~.

Остается вопрос об аксиоматизации логики Тr и о верифика­ции конвенции Тарского

5.4.6.1.1. Аксиоматизация логики Тr

Обратим внимание на работу [Ермолаева и Мучник 1976], где раз­вита теория Bg-алгебр, т. е. для булевых алгебр, снабженных опера­тором gv Здесь доказана теорема представления для подобных структур получен целый ряд других важных результатов.

(Заметим, что уже в [Ермолаева и Мучник 1974] вводится понятие МБ-алгебр и дается их аксиоматизация - это расширение алгебры Де Моргана операцией . Доказывается теорема представления для МВ-алгебр. Интересно, что в [Рупко 1999] вводится аналогичная алгебраическая структура под названием Де Моргановская булева алгебра в сигнатуре где -редукт есть решетка Де Моргана, а -редукт есть булева алгебра. Соот­ветствующая четырехзначная логика в виде секвенциального исчисления обо­значается посредством DMB4.)

По­скольку частным случаем применения этой теории является логика Тr, то отсюда можно извлечь изящную аксиоматизацию ло­гики Тr в языке и Т, где есть сокращение для определяется обычным образом посредством и Тогда:

А0. Классическая логика (см. выше раздел 1.5).

Правила вывода: МР.

(Интересно, что в [Хавьер Санчес 1978] дана аксиоматизация (без доказательст­ва) логики, которая есть расширение С2 посредством добавления отрицания де Моргана ~. Предложена семантика в терминах описания состояний в духе Карнапа. Посколькукоммутируют, т. е. то эта логика

есть не что иное, как Тr. См. также [Bochman 1998].)

Сделаем предположение:

Логика Тr (V2) является ЕДИНСТВЕННЫМ нормальным рас­ширением модальной логики S5 (кроме самой S5, С2 и противоре­чивой логики), которая обладает интерполяционным свойством Крейга. (Об этом свойстве см. в разделе 8.5.2).

Эту логику и можно было бы считать искомой пропозицио­нальной «логикой истинности», В связи с этим сделаем следующее замечание.

5.4.6.2. Логика Тr и аксиоматические теории истины

Никакого отношения к аксиоматическим теориям истины все это не имеет и поэтому неудивительно, что работы фон Вригта о логи­ках истинности не вызвали какого-либо интереса. Аксиоматизация теории истины Тарского происходит на совершенно другом уровне (см. [Halbach 2007]) с привлечением, как минимум, аппарата пер-вопорядковой арифметики.

Добавим также, что применение многозначных логик в иссле­довании свойств предиката истины использует не только расши­ренное пространство истинностных значений, но и свойства струк­тур, которые это пространство образует. Пионерской работой здесь является статья С. Крипке [Kripke 1975] и независимо от него рабо­та Р. Мартина и П. Вудруфа [Martin and Woodruff 1975]. В этих ра­ботах введен подход, основанный на "неподвижных точках", по­зволяющий предложению, которое ссылается само на себя, не принимать никакого классического истинностного значения или принимать "неопределенное" истинностное значение. Подходящим инструментом здесь оказалась трехзначная логика Клини К3 и в особенности тот факт, что её связки монотонны (регулярны). По­этому трехзначная логика Лукасевича здесь никак не примени­ма. Подход Крипке получил большую известность и даже стал альтернативным по отношению к теории истины Тарского (см. книгу [Soames 1998]). Теория истины Крипке была расширена на четырехзначный случай в работах [Visser 1984] и [Woodruff'1984], где теперь предложение может принимать одновременно оба класcических истинностных значения. Существенно то, что четырех­значный подход позволяет работать с полными решетками, а не с полными полурешетками, что намного упрощает технический ап­парат. Но что более важно, четырехзначный подход имеет естест­венное обобщение до семейства сплетенных бирешеток (см. выше), обогащенных операцией конфляции g(x). Введение кванторов предполагает четырехзначное пространство (см. [Fitting 1989]).