Дискретно-непрерывная математика (стр. 71 )

т. е. Поскольку множеством истинностных значений у Заде является интервал [0, 1], как в бесконечнозначной логике Лукасевича и здесь не имеет места закон исключенного третьего, постольку в первом приближении может рассматриваться в качестве нечеткой логики. Однако имеет­ся существенное уточнение [Mukaidano 1981], что нечеткая алгебра есть не что иное, как алгебра Клини, которая получается заменой закона исключенного третьего в аксиомах булевой алгебры зако­ном Клини, где последний есть ослабленное условие закона исклю­ченного третьего:

Как раз важнейшей и простейшей моделью нечеткой алгебры (типа 1) является логика Клини К3.

Обратим внимание, что свойства нечеткой теории множеств, как и нечеткой логики, зависят от структуры множества М. В на­шем случае это структура интервала [0,1], т. е. алгебра

есть алгебра Клини. Мы используем одни и те же символы, как для операций на нечетких подмножествах

Мар(Х, [0,1]), так и для операций на [0,1], точно так же, как одни и те же переменные. Конечно, имеются и другие операции на [0,1], которые согласуются с фазификацией, предложенной Заде. Наи­больший интерес для логики представляют t-нормы, которые мы рассмотрим в разделе 9.3.

Структура М не обязательно должна быть линейно-упорядоченной, как у Заде, где М= [0,1]. Уже в 1967 г. Дж. Гоген [Goguen 1967] сделал обобщение исходных идей Л. Заде, а именно предложил под множеством М, в котором функции принадлежно­сти принимают свои значения, понимать множество, наделенное более общей структурой, например, М со структурой конечной или бесконечной дистрибутивной решетки и т. д. (см. [Кофман 1982]). Поскольку свойства структуры М индуцируются (сохраняются) на множестве отображений мы в результате имеем различные теории нечетких множеств.

Нечеткая логика, построенная на основе некоторой теории не­четких множеств, является по существу многозначной логикой. Поскольку в основе нечетких множеств Заде лежит множество чи­сел в интервале [0,1], то это дало повод считать, что нечеткой логи­кой является именно бесконечнозначная логика Лукасевича Например, Р. Джайлс [Gils 1976] утверждает, что относится к теории нечетких множеств точно так же, как классическая логика к обычной теории множеств. Такого же мнения и X. Скала [Skala 1978]. Однако заметим, что алгеброй является МV-алгебра Чэна (см. выше раздел 8.1.1), которая значительно богаче алгебры Клини. Все дело в том, что при данном подходе мы никак не можем определить импликацию Лукасевича → посредством исходных операций. Как мы далее увидим, это можно сделать, но для этого нужно изменить определения исходных операций на множестве (см. 9.3).

В связи с этим стоит согласиться с идеями, высказанными в работе и [Аншаков и Финн 1981], где говорится, что понятие произвольной нечеткой логики весьма не­определенно и может быть уточнено различными способами. В свою очередь авторы дают опеределение «начальной» нечеткой ло­гики средствами квазибулевой алгебры. Как раз соответствующим уточнением и является алгебра Клини. Обратим внимание, что в этой работе в качестве формализации нечеткой логики предлагает­ся одноимпликационная логика, потому что связкиимеют естественную интерпретацию, связанную с определением операций над нечеткими множествами, а столь же ясной интерпретации им­пликации как операции не имеется. Опять же заметим, что пока не имеется, но см. далее раздел 9.4.

9.3. Вторая стадия фазификации

С работы 1975 г. (см. [Заде 1976]), Л. Заде начал развивать так на­зываемую нечеткозначную логику. Последняя является результатом двух стадий фазификации, и пока мы рассмотрели только первую стадию, которая состоит в переходе от двузначной к многозначной логике как результат учета степеней принадлежности элементов множеству. Однако фазификации подвергается и само понятие Ис­тинности — вторая стадия, — которая состоит в переходе к счетно­му множеству нечетких истинностных значений в результате отне­сения самого понятия Истинности к нечетким. Если, скажем, «а принадлежит со степенью 0,3 к множеству высоких людей», тогда высказыванию «а является высоким» следует приписать в базисной (многозначной) логике значение 0,3. Но поскольку, как уже гово­рилось, Истинность сама является нечетким предикатом, как и предикат «быть высоким», то и рассматривать ее следует анало­гично предикату «быть высоким». Степень истинности, которую имеет высказывание р, может быть совсем низкой, очень высокой, и т. д. Поэтому, если а принадлежит к множеству высоких людей со степенью 0,3, так что высказывание «а является высоким» имеет значение 0,3 в некоторой многозначной логике, то оно будет иметь, скажем, значение не очень истинный в нечеткозначной логике, по­скольку степень истинности этого высказывания в многозначной логике довольно низкая.

Каковы же особенности нечеткозначной логики? Эта логика является основой того, что можно было бы назвать приближен­ными рассуждениями, которыми пользуются в некорректно опре­деленных или не поддающихся количественному описанию ситуа­циях, что особенно проявляется, например, в диалоге человека с человеком. Приближенные рассуждения характерны тем, что зна­чения истинности и правила вывода являются не четкими, а не точ­ными. Это в свою очередь требует гораздо более радикальной ре­конструкции всей логики, чем та, которая произошла в результате появления многозначной логики, поскольку на множестве нечетких истинностных значений не сохраняются обычные логические связ­ки. В итоге все разработанные ранее логические системы (Заде на­зывает их стандартными, включая и многозначную логику) не при­годны для формализации приближенных рассуждений. Примером такого рассуждения в нечеткозначной логике является следующий вариант известного аристотелевского силлогизма (пример Заде):

В этом примере как С, так и С′ являются допустимыми при­ближенными следствиями из А и В со степенью приближенности, зависящей от определения нечетких предикатов большинство, воз­можно и очень возможно как нечетких подмножеств соответст­вующего универсума рассмотрения.

Согласно Заде, множеством истинностных значений в нечет-козначной логике является счетное множество лингвистических на­званий значений Истинности, понимаемой как лингвистическая переменная, т. е. такая переменная, значениями которой являются слова или предложения естественного или искусственного языка. Будем полагать, что множество значений переменной Истинность имеет вид:

Т(Истинностъ) = {истинный, ложный, не истинный, очень истинный, не очень истинный, более или менее истинный, очень очень истинный, не очень истинный и не очень ложный...}.

В свою очередь, переменная Истинность имеет также число­вые значения, играющие роль различных степеней Истинности. При этом в качестве числовых значений берется множество истин­ностных значений некоторой многозначной логики, обычно конти­нуальной логики Лукасевича Такая логика называется базовой логикой. Будем предполагать, что если не оговорено противное. Теперь перейдем к рассмотрению смысла лингвистических значений Истинности. Смысл первичного лингвистического зна­чения истинный отождествляется с нечетким подмножеством мно­жества истинностных значений базовой логики. Как обычно, не­четкое подмножество характеризуется функцией принадлежности, которая каждому числовому значению Истинности ставит в соот­ветствие число из интервала [0,1]. Таким образом, вторая стадия фазификации состоит в том, что функция принадлежности здесь сама является нечеткой, поскольку ее степень есть нечеткое под­множество в [0,1], а не точки (отдельные числа) из [0,1], т. е.

Таким образом, в рассмотрение вводятся нечеткие подмно­жества с нечеткими функциями принадлежности, т. е., если А - не­четкое подмножество универсального множества X, то значениями функций принадлежности могут быть нечеткие подмножества из интервала [0,1].

9.3.1. Нечеткие множества типа 2

Чтобы отличить такие нечеткие подмножества от нечетких под­множеств, рассмотренных ранее, будем называть их нечеткими подмножествами типа 2. Более строго: нечеткое подмножество А типа 2 в X есть нечеткое подмножество, которое характеризуется нечеткой функцией принадлежности как

где значение называется нечеткой степенью и является нечет-

ким подмножеством в [0, 1]. В качестве J обычно берется [0,1]. То­гда, если нечеткое подмножество типа 1 характеризуется функцией принадлежности то нечеткое подмножество типа 2

характеризуется функцией принадлежности где