Физика (стр. 11 )

Рис. 1.2.7

Решение. Вес тела является равнодействующей силы тяготения (М – масса Земли) и центробежной силы инерции , где – широта местности, – угловая скорость вращения Земли (рис. 1.2.7). По теореме косинусов , откуда

; ; ; .

1.3. Основные законы сохранения

1.3.1. Закон сохранения импульса

Введем понятие замкнутой механической системы. Тела, образующие механическую систему, могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не принадлежащими данной системе. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, можно подразделить на внутренние и внешние. Внутренними называются силы, с которыми на данное тело действуют остальные тела системы; внешними – силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе. В случае если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой.

Для замкнутых систем оказываются неизменными (сохраняются) в процессе движения три физических величины: энергия, импульс и момент импульса. В соответствии с этим имеют место три закона сохранения: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса.

Законы сохранения являются мощным инструментом решения научно-исследовательских задач. Часто бывает, что точное решение уравнений движения оказывается крайне сложным. В этих случаях с помощью законов сохранения можно и без решения уравнений движения получить важные данные о протекании механических явлений. Законы сохранения не зависят от характера действующих сил. Поэтому с их помощью можно получить важные сведения о поведении механических систем даже в тех случаях, когда силы оказываются неизвестными.

Законы сохранения обладают гораздо большей общностью, чем законы Ньютона (хотя они выводятся из законов Ньютона). Законы сохранения остаются строго справедливыми даже тогда, когда законы Ньютона претерпевают нарушения. Все три закона сохранения являются точными законами, строго выполняющимися во всех областях.

Наиболее прост для понимания и легко доказывается закон сохранения импульса.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из тел, масса и скорость которых, соответственно, равны и . Пусть – равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, а – равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел механической системы:

Складывая почленно эти уравнения, получим:

.

Однако геометрическая сумма внутренних сил по третьему закону Ньютона равна нулю. Отсюда

;

– импульс – го тела: поскольку – есть импульс системы, то

.

Таким образом, производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (система замкнута):

, т. е. .

Это и есть закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Всеобщность этого закона заключается в том, что он применим не только в механике, но и для любых систем тел и любых процессов, происходящих с телами системы, при единственном условии, чтобы на них не действовали внешние силы, т. е. чтобы система была замкнута. Тогда импульс системы сохраняется неизменным, даже если тела системы разрушаются и в результате химических реакций из одних веществ образуются другие и т. д. При этом, разумеется, обломки системы, продукты химических реакций и пр. необходимо причислять к телам системы.

Если система состоит из одного тела, то для него закон сохранения импульса означает, что в отсутствие сил, на него действующих, импульс тела не меняется. Это равносильно закону инерции (скорость тела не меняется).

Применим закон сохранения импульса к задаче об отдаче орудия при выстреле. До выстрела орудие массой и снаряд массой покоятся. Значит, суммарный импульс системы равен нулю . После выстрела орудие и снаряд получат скорости, и . В силу закона сохранения импульса суммарный импульс системы после выстрела должен равняться нулю:

.

Значит, орудие получит скорость во столько раз меньшую скорости снаряда, во сколько раз масса орудия больше массы снаряда. Различие знаков указывает на противоположное направление скоростей орудия и снаряда.

Задачу удалось решить, не выясняя даже, какие силы и в течение какого времени действовали на тела системы.

Пример 1. На рельсах стоит платформа весом . На платформе закреплено орудие весом , из которого производится выстрел вдоль рельсов. Вес снаряда , его начальная скорость . Определить скорость платформы в первый момент после выстрела, если: 1) платформа стояла неподвижно; 2) платформа двигалась со скоростью и выстрел был произведен в направлении ее движения; 3) платформа двигалась со скоростью и выстрел был произведен в направлении, противоположном направлению ее движения.

Решение. При неподвижной платформе начальная скорость снаряда относительно земли, очевидно, равна ее скорости относительно орудия. На основании закона сохранения импульса имеем:

,

где – масса платформы, – масса орудия и – масса снаряда. В рассматриваемом случае . Значит,

Знак минус указывает на то, что если принять направление движения снаряда положительным, т. е. , то , следовательно, платформа начнет двигаться в направлении, противоположном направлению движения снаряда.

Если выстрел был произведен в направлении движения платформы, то начальная скорость снаряда относительно земли равна , и тогда закон сохранения импульса дает: , откуда

.

Отметим, что , т. е. платформа продолжает двигаться в том же направлении, но с уменьшенной скоростью.

Если выстрел производится в направлении, противоположном направлению движения платформы, то при имеем . Тогда закон сохранения импульса дает: