Физика (стр. 29 )

Рис. 2.1.2

Используя функцию распределения молекул по скоростям, можно получить и выражение для средней арифметической скорости: . Подставив и проинтегрировав, получим:

.

Пример 5. В баллоне емкостью находится газа при давлении . Определить среднюю кинетическую энергию теплового движения молекулы газа.

Решение. В общем случае средняя энергия молекулы равна , где – число степеней свободы молекулы. (Число степеней свободы – это число независимых переменных, полностью определяющих положение молекулы. Если молекула имеет один атом, ее можно рассматривать как материальную точку, положение которой полностью описывается тремя координатами, т. е. одноатомная молекула имеет три степени свободы. Двухатомную молекулу можно представить как систему двух жестко связанных материальных точек. Такая система кроме возможности перемещаться в направлении трех осей имеет возможность вращаться вокруг осей, проходящих через каждую из точек. Так как материальная точка не имеет размеров, вращение такой системы вокруг оси, проходящей через обе точки, лишено смысла. Таким образом, двухатомная молекула может рассматриваться как система с пятью степенями свободы, из которых три поступательные и две вращательные. Рассуждая аналогично, можно прийти к выводу, что трехатомную молекулу можно рассматривать как систему трех жестко связанных материальных точек, имеющих шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных.)

Тепловое движение молекулы подразумевает поступательное движение, при котором . По уравнению Клапейрона–Менделеева имеем: , где – температура газа. Значит,

.

2.1.6. Барометрическая формула

При выводе основного уравнения м-к. т. предполагалось, что внешние силы на молекулы не действуют. Но молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Кроме этого, молекулы находятся в непрерывном тепловом движении. Это приводит к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с увеличением высоты убывает.

Предположим, что поле тяготения однородно, температура постоянна и все молекулы имеют одинаковую массу. При этом если на высоте давление равно , то на высоте давление будет равно . Разность давлений на рассматриваемых высотах будет равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой и площадью основания, равной единице:

,

где – плотность газа на высоте .

В силу малости отрезка высоты давление газа в пределах этого отрезка считаем постоянным и равным . Тогда

.

Из уравнения состояния идеального газа находим:

.

Подставляя это значение в выражение приращения давления, получаем:

.

С изменением высоты от до давление меняется от до . Интегрируя в этих пределах последнее выражение, получаем:

.

Так как высоты отсчитываются от уровня моря (), последнюю формулу можно переписать так: . Здесь и – давления на уровне моря и на высоте .

Выражение для называется барометрической формулой. Барометрическая формула дает зависимость давления от высоты над поверхностью Земли для воображаемой изотермической атмосферы. Заменим в показателе экспоненты отношение равным ему отношением . Кроме этого, заменим давления и их выражениями в соответствии с уравнением Клапейрона–Менделеева (). После несложных преобразований получим:

.

Здесь и – концентрации молекул на уровне моря и на высоте ; – потенциальная энергия молекулы в поле земного тяготения. Таким образом, распределение молекул по высоте определяется значением их потенциальной энергии. Это распределение называется распределением Больцмана.

В то время как закон Максвелла дает распределение молекул по значениям кинетической энергии, закон Больцмана дает распределение молекул по их потенциальным энергиям.

Пример 6. Отношение барометрического давления у поверхности Земли к давлению на некоторой высоте равно . Какую высоту покажет в этой точке прибор со шкалой, проградуированной по барометрической формуле при , если у Земли стрелку прибора установить на нуль. Вычислить относительную погрешность измерения, вызванную допущением , по сравнению с формулой . Температурный градиент , температура у поверхности Земли равна градуировочной.

Решение. По барометрической формуле . Используя условие задачи, имеем: . Логарифмируя последнее равенство и подставляя данные задачи, получаем: .

С учетом температурного градиента . Отсюда

.

Значит, относительная погрешность составит .

2.2. Основы термодинамики

2.2.1. Внутренняя энергия. Первое начало термодинамики

Рассмотрим теперь внутреннюю энергию тела.

Внутренней энергией тела называется энергия тела за вычетом кинетической энергии тела как целого и потенциальной энергии во внешнем поле сил. (Например, внутренняя энергия газа в сосуде не включает кинетическую энергию всего сосуда и его потенциальную энергию.) В понятие внутренней энергии включается кинетическая энергия движения молекул (хаотического движения), потенциальная энергия взаимодействия между молекулами и внутримолекулярная энергия. Внутренняя энергия системы тел равна сумме внутренних энергий каждого из тел в отдельности (т. е. внутренняя энергия – величина аддитивная).