Физика (стр. 63 )

3.5.6. Энергия магнитного поля

Вернемся к схеме, изображенной на рис. 3.5.7. Если катушка (соленоид) замкнута на батарею , то в ней устанавливается ток , который обусловливает магнитное поле, сцепленное с витками. Если отключить соленоид от батареи, замкнув его на сопротивление , то в образовавшейся цепи будет некоторое время течь постепенно убывающий ток. Работа, совершаемая этим током, за время , равна . Если индуктивность постоянна (), то , и выражение для работы принимает следующий вид: . Интегрирование этого выражения по от первоначального значения до нуля позволяет получить работу, совершаемую в цепи за время исчезновения тока и, соответственно, магнитного поля: . Эта работа идет на приращение внутренней энергии проводника, т. е. на его нагревание. Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля. Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит, остается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается работа. Значит, проводник с индуктивностью , по которому течет ток , обладает энергией , которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле.

Вычислим энергию магнитного поля соленоида. Поскольку индуктивность соленоида , то . Так как ток, текущий в соленоиде, связан с характеристиками соленоида и поля внутри него соотношением и , то .

3.5.7. Взаимная индукция

Выясним теперь, как влияют друг на друга два контура с током, двигающиеся друг относительно друга, либо меняющие магнитный поток изменением тока.

Рассмотрим два контура 1 и 2, расположенных друг относительно друга не очень далеко (рис. 3.5.9).

Рис. 3.5.9

Если в первом контуре течет ток силы , он создаст через другой контур пропорциональный полный магнитный поток (поле этого потока изображено сплошными линиями). При изменении во втором контуре индуцируется э. д. с. , аналогично, при протекании во втором контуре тока силы возникает связанный с первым контуром полный магнитный поток (поле этого потока изображено пунктирными линиями). При изменении тока в контуре индуцируется э. д. с. . Контуры 1 и 2 называются связанными, а явление возникновения э. д. с. в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности и называются взаимной индуктивностью контуров. Расчеты, подтверждаемые опытом, показывают, что . Взаимная индуктивность зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Взаимная индуктивность измеряется в тех же единицах, что и индуктивность, т. е. в генри.

Рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный железный сердечник. Этот случай имеет большое практическое значение, так как на один сердечник, как правило, наматывается несколько катушек. Линии магнитной индукции в этом случае сосредотачиваются внутри сердечника и можно считать, что возбуждаемое любой из обмоток магнитное поле будет иметь всюду в сердечнике одинаковую индукцию. Если первая обмотка имеет витков и по ней течет ток силой , то для магнитной индукции поля внутри тороида, создаваемого этой катушкой, можно написать ( – длина сердечника). Поток магнитной индукции через поперечное сечение сердечника , где – площадь поперечного сечения сердечника. Умножая на , получим полный поток магнитной индукции, сцепленный со второй обмоткой . Так как , то .

Вычислив поток , связанный с первой обмоткой в предположении, что во второй обмотке течет ток силой , найдем, что взаимная индуктивность имеет точно такое же выражение, как и .

Пример 5. Два соленоида (индуктивность одного , второго ) одинаковой длины и практически равного сечения вставлены один в другой. Определить взаимную индуктивность соленоидов.

Решение. – взаимная индукция двух соленоидов. Индуктивность каждого соленоида дается выражением: , где – число витков соленоида, – его длина, – площадь поперечного сечения. Отсюда для числа витков каждого соленоида имеем: . Подставляя эти выражения в , получаем: .

На явлении взаимной индукции основан принцип действия трансформаторов (рис. 3.5.10), применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока. Первичная и вторичная катушки, имеющие, соответственно, и витков, намотаны на замкнутый железный сердечник. Концы первой обмотки подсоединены к источнику переменного напряжения с э. д. с. , возбуждающей переменный ток . Этот ток возбуждает в сердечнике трансформатора переменный магнитный поток, пронизывающий обе катушки. При этом во второй катушке появляется э. д. с. взаимной индукции, а в первой – э. д. с. самоиндукции.

Рис. 3.5.10

По закону Ома падение напряжения в первой катушке равно разности э. д. с. источника и э. д. с. самоиндукции: , где – сопротивление первой катушки. В силу малости сопротивления имеем: .