Физика (стр. 15 )

По второму закону Ньютона

Двигаясь под действием этих сил, точки системы за интервал времени совершат перемещения , причем . Умножив каждое из уравнений движения на соответствующее перемещение, получим:

После сложения всех уравнений получим:

.

Первый член в левой части:

есть приращение кинетической энергии системы. Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии системы dEП. Правая часть задает работу внешних неконсервативных сил. Таким образом, имеем

.

При переходе системы из состояния 1 в состояние 2: , т. е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершаемой при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то , т. е. полная механическая энергия системы сохраняется. Это и есть закон сохранения механической энергии системы: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. со временем не изменяется.

Если неконсервативные силы присутствуют, то механическая энергия системы постепенно уменьшается за счет преобразования ее в другие виды энергии (неконсервативными силами совершается работа). Кроме механической энергии тело или система тел обладает внутренней энергией, к которой относятся кинетическая энергия теплового движения молекул, потенциальная энергия их взаимодействия, энергия, связанная с движением электронов в атомах и т. д. Сумма механической и внутренней энергий называется полной энергией тела.

Для всех видов энергии возможен переход из одного вида в другой. Опытным фактом является то, что все виды энергии могут взаимно превращаться, однако, это может происходить только при условии, что полная энергия тела остается неизменной. Энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь переходит из одного вида в другой. В этом заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии – сущность неуничтожимости материи и ее движения.

Пример 6. Скорость реактивного самолета на некотором участке меняется с расстоянием по закону: . Найти работу за промежуток времени , если масса самолета . В момент времени скорость равна .

Решение. Ускорение самолета . Разделив переменные, получим: . После интегрирования и потенцирования последнего выражения получим, что скорость в момент времени равна . Работа равна разности кинетических энергий .

Пример 7. Необходимо вывести выражения для скоростей двух тел после их центрального абсолютно упругого соударения.

Решение. Центральным называется удар, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. При абсолютно упругом ударе в обоих телах не остается никаких деформаций, и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, снова превращается в кинетическую энергию. При таком соударении выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии.

Обозначим скорости двух тел с массами и до удара через и , после удара – через и . При прямом центральном ударе векторы скоростей тел до и после удара лежат на прямой, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Запишем законы сохранения:

·  закон сохранения импульса ;

·  закон сохранения энергии .

После простых преобразований получаем:

; (*)

.

Поделив почленно второе на первое, получим: . Выражая отсюда и подставляя в формулу (*), имеем:

,

.

Пример 8. Необходимо получить выражения для скорости тел после их центрального неупругого соударения.

Решение. Неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, дальше двигаясь как единое целое. Пусть массы тел и , их скорости до удара и . По закону сохранения импульса . Отсюда . Если тела двигались навстречу друг другу, то они будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигалось тело с большим импульсом. При неупругом ударе часть кинетической энергии тел переходит в тепловую энергию, поэтому закон сохранения энергии не выполняется.

1.3.4. Основное уравнение динамики вращательного движения

Введем понятие абсолютно твердого тела и выведем формулу для кинетической энергии тела при вращательном движении. Абсолютно твердое тело – это тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться, и при всех условиях расстояние между двумя точками остается постоянным.

Разобьем вращающееся абсолютно твердое тело на элементарные объемы с массами , расположенные на расстояниях от оси вращения. Кинетическая энергия вращающегося тела будет равна сумме энергий элементарных объемов:

.

Так как тело абсолютно твердое, угловая скорость всех элементарных объемов одинакова: . Заменив , получим

.

В случае плоского движения тела (цилиндр катится без скольжения) : кинетическая энергия равна сумме энергий поступательного и вращательного движений.

Используя выражение для кинетической энергии вращающегося тела, выведем основное уравнение вращательного движения. Работа силы (рис. 1.3.7), приложенной к телу в точке , находящейся на расстоянии от оси вращения, при повороте тела на угол будет равна: ( – угол между направлением силы и радиус-вектором ; при повороте на бесконечно малый угол точка приложения силы проходит путь ). Так как и – момент силы относительно точки 0, имеем . Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии . Но . Отсюда или . А , значит, . Производная от угловой скорости по времени есть угловое ускорение . Окончательно: .