Физика (стр. 12 )

,

откуда . Отметим, что направления и совпадают , следовательно, платформа продолжает двигаться в том же направлении, но с увеличенной скоростью.

Движение тел переменной массы

Второму закону Ньютона подчиняются движения любых тел при скорости движения, много меньшей скорости света, в том числе и движение тел с переменной массой. Получим уравнение движения тела с переменной массой на примере движения ракеты.

Если в момент времени масса ракеты , а ее скорость , то по истечении времени ее масса уменьшится на и станет равной , а скорость станет равной . Изменение импульса системы за отрезок времени составит:

Здесь – скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки и учитывая, что – малая величина более высокого порядка малости по сравнению с остальными членами, получаем

.

Если на систему действуют внешние силы, то, согласно второму закону Ньютона, , поэтому или . Член называется реактивной силой . Если вектор противоположен по направлению вектору , то ракета ускоряется, а если совпадает с направлением вектора , тормозится. Значит, уравнение есть уравнение движения тела переменной массы. Оно получено .

Если на ракету не действуют внешние силы , то при (ракета движется прямолинейно) имеем:

.

Постоянную интегрирования находим из начальных условий: при скорость и (стартовая масса). Тогда и .

Пример 2. В начальный момент времени ракета имеет массу вместе с горючим , а ее скорость равна нулю. Затем она движется в отсутствие внешних сил, испуская непрерывную струю газа со скоростью , постоянной относительно ракеты. Найти скорость ракеты в момент, когда ее масса равна .

Решение. До старта ракета покоится, и ее импульс равен нулю. В силу закона сохранения импульса через время , когда масса ракеты станет равной , ее импульс (вместе с импульсом выбрасываемых газов) также будет равен нулю: . Здесь – скорость ракеты в начальный момент времени. Отсюда . Интегрируя по скорости от до и по массе от до , получим: .

Пример 3. Ракета движется в отсутствие внешних сил с постоянным ускорением , скорость истечения газа относительно ракеты постоянна и равна . Масса ракеты в начальный момент времени равна . Найти закон изменения массы ракеты со временем.

Решение. Изменение импульса системы «ракета + газы» в силу закона сохранения импульса равно нулю: . Здесь – масса ракеты в произвольный момент времени ; – изменение скорости ракеты; – масса выброшенных газов. Отсюда . Интегрируя, получаем: . После потенциирования имеем: .

1.3.2. Физические понятия вращательного движения

Для того чтобы перейти к выводу других двух законов сохранения, потребуется ввести в рассмотрение новые физические величины, имеющие и важное самостоятельное значение. Речь идет о моменте силы, моменте инерции тела, моменте импульса тела, работе, мощности, энергии.

Момент силы

Рассмотрим подробнее вращательное движение. Мы уже знаем, что причиной любого движения являются приложенные к телу силы. Для того чтобы вызвать вращение тела, к нему необходимо приложить силу , на которую накладываются три условия (рис. 1.3.1): 1) сила должна действовать в плоскости, перпендикулярной оси вращения; 2) сила не должна проходить через ось вращения; 3) должна быть направлена под прямым углом к радиусу , проведенному от оси вращения к точке приложения силы. При этом действие силы тем значительнее, чем дальше расположена точка ее приложения от оси вращения, т. е. действие силы можно характеризовать моментом силы.

Рис. 1.3.1

Моментом силы относительно неподвижной точки называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора, проведенного из точки в точку приложения силы, на силу : (рис. 1.3.2).

Рис. 1.3.2

Направление момента определяется правилом правого винта при его вращении от к . Модуль момента силы ( – угол между векторами и ), – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой . Это расстояние называется плечом силы. Таким образом, модуль момента силы оказывается равным .