Физика (стр. 44 )

Пример 6. Какая совершается работа при перенесении точечного заряда в из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии от поверхности шара радиусом с поверхностной плотностью заряда ?

Решение. Поверхность шара . Значит, заряд на шаре равен . Работа по перемещению заряда из бесконечности в данную точку поля будет равна:

3.1.9. Потенциал

Поскольку электростатическое поле потенциально, любой заряд, помещенный в такое поле, обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа. Значит, работа по перемещению заряда в электростатическом поле может быть представлена как разность значений потенциальной энергии этого заряда в начальном и конечном положениях:

.

Значит, выражение для потенциальной энергии имеет вид: . Значение константы можно найти из условия, что на бесконечности . При этом условии .

Разные пробные заряды и т. д. будут обладать в одной и той же точке различной энергией и т. д. Но, как видно из выражения для потенциальной энергии, отношение энергии к пробному заряду от величины пробного заряда не зависит. Величина этого отношения называется потенциалом поля в данной точке и обозначается . Потенциал наряду с напряженностью используется для описания полей. Используя выражение для потенциальной энергии, потенциал можно записать в следующем виде:.

Нетрудно показать, что потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

.

Поскольку , то работа по переносу заряда в электростатическом поле может быть выражена через разность потенциалов: . Если заряд переносится из данной точки поля на бесконечность, где , то .

В системе СИ за единицу потенциала, называемую вольтом, принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного , нужно совершить работу в : .

Поскольку электрическое поле можно описать либо с помощью вектора напряженности, либо с помощью скаляра потенциала, то между этими величинами должна существовать определенная связь. Действительно, работа поля над зарядом  на отрезке пути может быть представлена, с одной стороны, как , а с другой стороны, как убыль потенциальной энергии , т. е. . Отсюда . В качестве взято произвольное направление. Используя декартову систему координат, можно записать:

Эта формула позволяет по известным значениям потенциала найти напряженность поля в каждой точке. Можно решить и обратную задачу: по заданным в каждой точке значениям напряженности найти разность потенциалов между двумя произвольными точками. Действительно, работа, совершаемая силами поля над зарядом при перемещении его из точки 1 в точку 2, может быть вычислена как . Но эта же работа может быть представлена в виде: . Значит, . Интеграл берется по любой линии, соединяющей точки 1 и 2.

Для наглядного изображения поля можно вместо линий напряженности воспользоваться эквипотенциальными поверхностями или поверхностями равного потенциала. Эквипотенциальная поверхность – это такая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Нетрудно показать, что линии напряженности в каждой точке ортогональны эквипотенциальным поверхностям. Чтобы убедиться в этом, проведем в некоторой точке касательную к эквипотенциальной поверхности (рис. 3.1.9). При смещении вдоль на бесконечно малую величину потенциал не изменится, так что . Но с точностью до знака равно проекции вектора напряженности на направление . Следовательно, тангенциальная составляющая вектора равна нулю, откуда вытекает, что вектор направлен по нормали к поверхности, а поскольку направление - это направление касательной к линии , то линии в каждой точке ортогональны эквипотенциальным поверхностям.

Рис. 3.1.9

Эквипотенциальную поверхность можно провести через любую точку поля. При графическом изображении поля принято проводить поверхности так, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была везде одна и та же. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряженности поля: чем гуще располагаются поверхности, тем больше в данном месте , а значит и .

Пример 7. Шарик массой и зарядом перемещается из точки , потенциал которой , в точку , потенциал которой равен нулю. Чему была равна его скорость в точке , если в точке она стала равной ?

Решение. Работа по перемещению заряда из точки с потенциалом в точку с потенциалом, равным нулю, равна:

.

Кинетическая энергия шарика в конце пути равна:

.

Вся работа пошла на увеличение кинетической энергии. Значит, в точке кинетическая энергия шарика была равна: