Физика (стр. 13 )

Если на тело действуют несколько сил, то их моменты складываются с учетом знака, т. е. направления. Необходимое (но недостаточное) условие равновесия тела – сумма моментов, действующих на тело сил, должна равняться нулю.

Момент инерции

Из сказанного ясно, что действие силы при вращательном движении зависит от плеча силы. Аналогично этому и инерция вращающегося тела зависит от расположения его массы относительно оси вращения. Чем дальше от оси вращения находится масса тела, тем больше его инерция.

Это обстоятельство хорошо иллюстрируется на приборе Обербека (рис. 1.3.3): на блоке закреплены четыре спицы, по которым могут перемещаться грузы с массами . На блок намотана нить, к концу которой привязан груз . Двигаясь вниз, груз раскручивает блок (создает вращающий момент).

Рис. 1.3.3

Если грузы находятся на спицах близко от оси вращения, то груз движется быстро. Если грузы передвинуть к концам спиц, то груз будет опускаться медленнее. Скорость вращения блока в этом примере определяется инерцией блока.

Для количественной характеристики влияния инерции тела на его вращение в физике вводится величина, называемая моментом инерции. Моментом инерции материальной точки называется произведение массы этой точки на квадрат расстояния до оси вращения:

.

Для нахождения момента инерции тела его разделяют на элементарные фрагменты с размерами, которыми можно пренебречь по сравнению с расстоянием до оси вращения, вычисляют моменты инерции этих фрагментов; момент инерции всего тела находят суммированием моментов инерции составляющих тело фрагментов: .

Для тел правильной геометрической формы формулы для вычисления моментов инерции вывести несложно. В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой и радиусом относительно его геометрической оси. Разобьем цилиндр (рис. 1.3.4) на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины с внутренним радиусом и внешним – .

Рис. 1.3.4

Момент инерции каждого полого цилиндра (так как <<, считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно ), где – масса всего элементарного цилиндра; его объем равен . Если – плотность материала, то и . Тогда момент инерции сплошного цилиндра – объем цилиндра, его масса , а значит, момент инерции равен .

Для тел сложной формы момент инерции определяется опытным путем.

Пример 4. Определить момент инерции сплошного шара массой кг и радиусом м относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Решение. Выделим диск толщиной (рис. 1.3.5).

Рис. 1.3.5

Его можно рассматривать как цилиндр радиусом и высотой с моментом инерции

.

Из рисунка следует, что . Тогда

.

Заменяя , получим .

Работа и мощность

Действие силы, вызывающей перемещение тела, к которому она приложена, характеризуется особой величиной, называемой работой. Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила , направление которой составляет некоторый угол с направлением перемещения , то работа этой силы равна ее скалярному произведению на перемещение точки приложения силы:

.

Здесь – проекция силы на направление перемещения.

В общем случае сила может меняться как по модулю, так и по направлению, поэтому последней формулой пользоваться нельзя (можно только при ). Но если рассмотреть элементарное перемещение , то силу можно считать постоянной, а движение точки ее приложения – прямолинейным. Тогда элементарной работой силы на перемещении будет называться величина

где – угол между векторами и .

Работа силы на участке траектории от 1 до 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых перемещениях:

.

Из приведенных формул для работы видно, что при работа силы положительна; при – работа силы отрицательна; при (сила перпендикулярна перемещению) – работа равна нулю.

В системе СИ единицей работы является Джоуль: 1 Дж – это работа, совершаемая силой в 1 Н на пути 1м.

Чтобы характеризовать скорость совершения работы вводят понятие мощности, т. к. мощность характеризует количество работы, совершенное в единицу времени:

.

Если работа совершается равномерно , то мощность измеряется отношением работы , совершенной за время , к величине этого промежутка времени:

.

Так как при этом (работа совершается равномерно силой, направление которой составляет угол с перемещением), то