Физика (стр. 66 )

3.5.9. Электрические цепи с изменяющимся током

Если на концы цепи, содержащей активное сопротивление , индуктивность и емкость (рис. 3.5.15 а) подать переменное напряжение , то в соответствии со вторым правилом Кирхгофа будем иметь:

.

Первый член в левой части – падение напряжения на активном сопротивлении, второй – на индуктивности, третий – на емкости. Из этого уравнения как частные случаи следуют описанные выше случаи цепей, содержащих либо только активное сопротивление, либо только индуктивность, либо только емкость.

Этим же уравнением описываются токи при размыкании и замыкании цепи (см. п. 3.5.4). Если цепь не содержит емкости () и , имеем: – уравнение, описывающее ток при размыкании цепи. Если и , имеем: – уравнение, описывающее ток при замыкании цепи.

Рассмотрим другие частные случаи, вытекающие из приведенного общего уравнения.

Разряд конденсатора. Если заряженный конденсатор с емкостью замкнуть на активное сопротивление (рис. 3.5.15 б), то он начнет разряжаться и в цепи потечет ток, уменьшающийся по величине.

а) б) в)

Рис. 3.5.15

Поскольку внешних источников тока нет и индуктивность отсутствует, из общего уравнения имеем: . Учитывая, что , получаем: . Разделяем переменные и интегрируем: . Здесь – постоянная интегрирования. При заряд на конденсаторе равен исходному . Отсюда . Далее . Время называется временем релаксации. За это время заряд конденсатора убывает в раз.

Колебательный контур. Если заряженный конденсатор с емкостью замкнуть на индуктивность (рис. 3.5.15 в), то он начнет разряжаться, и в цепи потечет ток. Цепь, состоящая из конденсатора и индуктивности, называется колебательным контуром. Из общего уравнения имеем: . Активное сопротивление катушки обычно много меньше реактивного, поэтому в расчетах колебательного контура полагают , т. е. .

Перед началом разряда между обкладками конденсатора существует электрическое поле с энергией (рис. 3.5.16, стадия 1), где – исходный заряд на обкладках.

При разряде энергия электрического поля будет уменьшаться, но зато возникнет все возрастающая энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность. Его энергия, как известно, равна . Так как активное сопротивление равно нулю, полная энергия не расходуется на нагревание проводника и в любой момент времени равна сумме энергий электрического и магнитного полей: . Поэтому в момент, когда напряжение на конденсаторе, а, следовательно, и энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия магнитного поля, а значит, и ток достигают наибольшего значения (стадия 2). Начиная с этого момента, ток течет за счет самоиндукции, при этом величина его уменьшается. Когда заряды на обкладках достигнут исходной величины , сила тока станет равной нулю (стадия 3). Затем те же процессы протекают в обратном порядке (стадии 4 и 5), после чего система приходит в первоначальное состояние и весь цикл повторяется заново. Понятно, что в рассмотренном процессе колеблются заряд на обкладках, напряжение на конденсаторе и сила тока, текущего через индуктивность. При этом происходят взаимные превращения энергий электрического и магнитного полей.

Рис. 3.5.16

На рис. 3.5.16 б электрическим колебаниям в контуре сопоставлены механические колебания маятника, сопровождающиеся взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий. Зарядка конденсатора соответствует сообщению маятнику первоначального отклонения и, соответственно, потенциальной энергии, которая аналогична энергии электрического поля конденсатора. При движении маятника потенциальная энергия переходит в кинетическую, соответствующую энергии магнитного поля. Индуктивность играет роль массы , величина – роль коэффициента жесткости пружины , заряду соответствует смещение маятника из положения равновесия , силе тока – скорость . Эта аналогия должна распространяться и на уравнения, описывающие процессы.

Поскольку внешнего напряжения к контуру не приложено (во время колебаний), то сумма падений напряжений на емкости и индуктивности должна быть равна нулю: . Разделив на и заменив , получим , где .

Полученное уравнение, как известно из курса механики, описывает незатухающие свободные механические колебания. Значит, колебательные процессы различной природы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Решение этого уравнения: .

Таким образом, заряд на обкладках изменяется по гармоническому закону с частотой . Для периода колебаний получается, так называемая, формула Томсона: . Поделив заряд на емкость, получим напряжение на обкладках конденсатора: . Продифференцировав заряд по времени, получим выражение для силы тока: . Используя выражение для , легко получить связь между амплитудными значениями напряжения и тока: .

Нетрудно показать, что и свободные затухающие и вынужденные электромагнитные колебания описываются теми же самыми уравнениями, что и соответствующие механические колебания.