Физика (стр. 21 )

Рис. 1.5.3

В силу неразрывности струи объем жидкости, вошедшей в объем между сечениями и , равен вышедшему объему жидкости. Значит, заштрихованные на рисунке объемы будут иметь одинаковую величину: . Энергия каждой частицы жидкости складывается из потенциальной энергии в поле сил земного тяготения и кинетической энергии. Так как течение стационарно, любая частица жидкости, проходя через выбранную точку (например, точку О), имеет такую же скорость, как и частица, находившаяся в этой точке в начальный момент времени. Значит, и кинетическая энергия всех частиц в выбранной точке будет одинаковой. Отсюда следует, что приращение энергии всего рассматриваемого объема можно определить как разность энергий заштрихованных объемов и . Пусть сечение трубки и путь настолько малы, что во всех точках заштрихованного объема ( или ) значения скорости , давления и высоты одинаковы. Тогда приращение энергии можно записать следующим образом:

где – плотность жидкости.

Поскольку жидкость идеальная, то трение отсутствует. Поэтому приращение энергии обеспечивается работой сил давления над выделенным объемом. Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке перемещениям частиц жидкости, к которым они приложены, и, вследствие этого, работы не совершают. Отлична от нуля только работа сил, приложенных к сечениям и . Она равна

.

Приравняв значения работы и энергии, сократив на и сгруппировав члены, получим:

.

Сечения и взяты призвольно, поэтому можно утверждать, что в любом сечении трубки тока выражение имеет одинаковое значение.

Так как при выводе этого уравнения было сделано предположение о малости площади сечения трубки тока, то это уравнение будет абсолютно точным при стремлении площади сечения трубки к нулю, т. е. при превращении трубки тока в линию тока.

Таким образом, в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие: . Это уравнение носит имя Бернулли. Оно довольно хорошо выполняется и для реальных жидкостей с малой вязкостью.

Если разность высот рассматриваемых точек линии тока невелика и ею можно пренебречь, полагая , то уравнение Бернулли упрощается:

.

Из этого уравнения видно, что с увеличением скорости снижается давление. На этом принципе работает водоструйный вакуумный насос (рис. 1.5.4).

Рис. 1.5.4

Скорость воды в сужающемся месте увеличивается, давление снижается, становясь ниже атмосферного; происходит подсос воздуха из окружающего пространства.

Уравнение Бернулли позволяет легко рассчитать истечение жидкости из небольшого отверстия в широком открытом сосуде.

Пример 2. На дне цилиндрического сосуда имеется круглое отверстие диаметром . Диаметр сосуда . Найти зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты этого уровня. Найти численное значение этой скорости для высоты .

Решение. Обозначим через площадь поперечного сечения сосуда и – скорость течения воды в нем (скорость понижения уровня воды в сосуде), – площадь поперечного сечения отверстия и – скорость вытекания воды из отверстия. По теореме Бернулли, или . В силу неразрывности струи , или . Подставляя последнее равенство в уравнение Бернулли и решая его относительно , получим: . Так как и , то . Так как , то приближенно . Отметим, что если , то . При имеем .

Полученное выражение для скорости истечения жидкости через отверстие носит название формулы Торричелли.

1.5.3. Вязкое трение

В реальных жидкостях всегда проявляется вязкость (трение, приводящее к прекращению движения жидкости).

Рассмотрим следующий опыт. Две параллельные пластинки погружены в жидкость. Размеры пластин много больше расстояния между ними (рис. 1.5.5).

Рис. 1.5.5

Нижняя пластина закреплена, верхняя приводится в движение с постоянной скоростью под действием определенной и постоянной силы . Опыт показывает, что ускорение движущейся пластины равно нулю. Значит, сила уравновешивается равной ей противоположно направленной силой. Это и есть сила трения , действующая на пластину при ее движении в жидкости. Ньютон, исследуя этот факт, установил, что сила трения пропорциональна скорости движения пластины и ее площади и обратно пропорциональна расстоянию между пластинами:

. (*)

Здесь – коэффициент внутреннего трения (коэффициент вязкости). Нижняя пластина подвергается действию силы , равной . Эта сила уравновешивается силой со стороны пружины.

Значит, при движении двух параллельных пластин, погруженных в жидкость, между ними возникает взаимодействие с силой . Воздействие верхней пластины на нижнюю осуществляется через жидкость, передаваясь от одного слоя к другому. Если мысленно провести между пластинами плоскость, параллельную пластинам, то можно утверждать, что верхняя часть жидкости действует на нижнюю с силой , а нижняя на верхнюю – с силой , причем обе силы определяются одним и тем же выражением (*). Это выражение определяет не только силу, действующую между пластинами, но силу трения между соприкасающимися слоями жидкости.