Физика (стр. 4 )

Рис. 1.1.3

Предел отношения изменения функции к изменению аргумента, стремящегося к нулю, есть производная от этой функции по аргументу. Значит, скорость есть производная от перемещения по времени:

.

Модуль скорости, т. е. ее величину, можно определить следующим образом:

.

Чем меньше будут участки , на которые мы будем разбивать траекторию, тем меньшие перемещения будут соответствовать этим участкам. Это соответствует уменьшению промежутков времени , и различие между и будет становиться все меньше. В пределе

.

Значит, в выражении для модуля скорости числитель можно заменить на :

.

Модуль скорости равен производной от пути по времени.

При равномерном движении отношение (по определению). Значит, модуль скорости постоянен, но направление скорости может меняться.

Пример 1. Одновременно из одного и того же пункта выезжают две автомашины, которые движутся в одном направлении прямолинейно. Зависимость пройденного автомобилями пути от времени выражается уравнениями: Необходимо найти модуль относительной скорости автомобилей.

Решение. Модуль скорости первого автомобиля равен ; модуль скорости второго – . Модуль относительной скорости первого автомобиля по отношению ко второму составит .

Пример 2. Тело движется так, что модули скорости его в течение каждого из равных промежутков времени равны, соответственно, . Каков модуль средней скорости тела?

Решение. Суммарный путь, пройденный телом, равен . Полное время, затраченное на путь, равно . Модуль средней скорости на всем пути составит .

1.1.3. Ускорение

В общем же случае скорость может меняться как по величине, так и по направлению. Предел отношения изменения вектора скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, при промежутке времени, стремящемся к нулю, называется ускорением, т. е. ускорение есть производная от вектора скорости по времени:

.

Если ускорение постоянно по величине, т. е. по модулю, то движение является равноускоренным и величину ускорения можно вычислить, поделив разность двух значений скорости на промежуток времени :

.

Пример 3. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением , где . Определить: 1) через какое время после начала движения ускорение тела будет равно ; 2) среднее ускорение а тела за этот промежуток времени.

Решение. Модуль скорости выражается первой производной от пути по времени: . Ускорение выражается первой производной от скорости по времени: . По условию, через t секунд ускорение примет значение . Отсюда . Из выражения для скорости имеем: – значение скорости в начальный момент времени; – значение скорости в момент времени 10 с после начала движения. Среднее ускорение за промежуток времени 10 с будет равно:

.

Пример 4. Определить зависимость пути от времени, если ускорение тела пропорционально квадрату скорости и направлено в сторону, противоположную ей.

Решение. По условию . Отсюда, разделяя переменные, получаем: . При скорость равна . Значит,

.

Поскольку , то . Интегрируя, получаем: . Для определения постоянной интегрирования имеем: при , значит, . Окончательно имеем: .

1.1.4. Угловая скорость и угловое ускорение

Любое механическое движение твердого тела может быть разложено на два основных вида движения: поступательное и вращательное. Поступательное движение – это такое движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может находиться и вне тела.

Когда о теле говорят как о материальной точке, т. е. отвлекаются от его размеров, то понятие вращательного движения вокруг проходящей через него оси к такому телу неприемлемо.

Вращательное движение можно характеризовать угловой скоростью и угловым ускорением.

Угловой скоростью называется предел отношения изменения угла поворота к промежутку времени, за который это изменение произошло, при промежутке времени, стремящемся к нулю, т. е. угловая скорость есть производная от угла поворота по времени. В кинематике бесконечно малые углы поворота рассматривают как векторы, считая модуль вектора равным углу поворота, а направление определяют правилом правого винта. (Векторы, направление которых связывается с направлением вращения, называются псевдовекторами. Эти векторы не имеют точек приложения и могут откладываться от любой точки оси.) Исходя из данного определения угловой скорости, можно записать

.

Если угловая скорость постоянна, то вращательное движение равномерное, и модуль угловой скорости будет равен

,

где – конечный угол поворота за время .

Равномерное вращение можно характеризовать периодом (временем одного полного оборота). Один полный оборот соответствует углу поворота . Значит, времени вращения соответствует угол поворота . Отсюда