Физика (стр. 55 )

Магнитная индукция характеризует силовое действие поля на ток и, следовательно, является аналогом напряженности электрического поля. Наряду с магнитной индукцией для описания магнитного поля вводится величина , называемая напряженностью магнитного поля. Для вакуума: , где – магнитная постоянная.

Теорема Гаусса справедлива и для вектора напряженности магнитного поля в вакууме. Для вектора в веществе в общем случае это неверно.

3.4.2. Закон Био–Савара–Лапласа

В 1820 г. французские ученые Био и Савар провели исследование магнитных полей токов различной формы. Лаплас обработал математически их экспериментальные данные и нашел, что магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока. По Лапласу, магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока , равна: . Модуль вектора определяется выражением: . (Для напряженности магнитного поля ). Здесь – длина участка проводника с током, – сила тока, – расстояние от элемента с током до точки поля, в которой определяется или , – угол между векторами и .

Из выражения для напряженности магнитного поля следует, что она имеет размерность, равную размерности силы тока, деленной на размерность длины. В системе СИ эта единица называется ампер на метр . Единица магнитной индукции в системе СИ называется тесла ().

Численное значение магнитной индукции в раз больше численного значения напряженности. Следовательно, при напряженности магнитного поля в вакууме, равной , магнитная индукция составляет .

Расчет поля по формуле Лапласа довольно сложен. Но в отдельных частных случаях закон Био–Савара–Лапласа и принцип суперпозиции позволяют довольно просто рассчитать конкретное поле. Например, для магнитного поля прямого тока, т. е. тока, текущего по тонкому прямому проводнику бесконечной длины (рис. 3.4.1), имеем: . (Индукцию будем вычислять в точке, отстоящей от проводника на расстоянии .)

Рис. 3.4.1

Как известно, вектор, определяемый векторным произведением, перпендикулярен плоскости, проходящей через векторы-сомножители. Следовательно, в нашем случае все векторы имеют одинаковое направление (за чертеж). Из закона Био–Савара–Лапласа . Для напряженности аналогично: . Угол изменяется от до . Интегрирование по углу дает: . (Аналогично – .)

Совершенно несложно вычисляется напряженность магнитного поля в центре кругового тока (тока, текущего по проводнику, имеющему форму окружности радиусом ). Каждый элемент тока создает в центре магнитное поле, направленное вдоль положительной нормали к контуру (рис. 3.4.2).

Рис. 3.4.2

Следовательно, векторное сложение векторов сводится к сложению их модулей. Поскольку , то, используя выражение для , имеем:

.

Теперь найдем на оси кругового тока на расстоянии от плоскости, в которой лежит контур с током. Векторыдолжны быть перпендикулярны к плоскостям, проходящим через соответствующие векторы и . Следовательно, они образуют симметричный конический веер (рис. 3.4.3).

Рис. 3.4.3

Из соображений симметрии ясно, что результирующий вектор направлен вдоль оси тока. Каждый из составляющих векторов вносит в результирующий вектор вклад , равный по модулю . Угол между векторами и прямой, поэтому .

Интегрируя по всему контуру и учитывая, что , получаем: . При эта формула переходит в выражение для напряженности поля в центре кругового тока.

Пример 1. По двум параллельным бесконечно длинным проводникам, находящимся на расстоянии друг от друга, текут токи противоположного направления . Определить магнитную индукцию поля в точке, расположенной посредине между проводниками. Чему равна индукция поля в точке, которая находится на расстоянии от одного и от другого проводника?

Решение. Индукция магнитного поля, создаваемого прямым током , равна , где – расстояние от тока до исследуемой точки поля. Линии магнитной индукции прямого тока – концентрические окружности (рис. 3.4.4).

Рис. 3.4.4

Направление вектора магнитной индукции перпендикулярно плоскости, проходящей через направление тока и радиус-вектор, проведенный от тока в данную точку поля. Ясно, что в точке посередине между проводниками направления векторов магнитной индукции полей, создаваемых первым и вторым токами, одинаковы, т. е. результирующая индукция равна их сумме:

.