Физика (стр. 62 )

Пусть в цепь с не зависящей от тока индуктивностью и сопротивлением включен источник тока с э. д. с. (рис. 3.5.7).

Рис. 3.5.7

Под действием э. д. с. в цепи будет течь ток (сопротивления источника и катушки считаем малыми). В момент времени отключим источник тока, замкнув одновременно цепь накоротко переключателем К. Как только сила тока в цепи начнет убывать, возникнет э. д. с. самоиндукции , которая приведет к падению тока в цепи по экспоненциальному закону: . Действительно, по закону Ома ; так как

,

При имеем , где – ток в цепи в установившемся режиме. Потенцируя, получаем выше приведенную зависимость тока от времени. Скорость убывания тока определяется имеющей размерность времени величиной , называемой постоянной времени. Таким образом, . В соответствии с этой записью есть время, в течение которого сила тока уменьшается в раз. Чем больше индуктивность и чем меньше сопротивление , тем больше постоянная времени и тем медленнее спадает ток в цепи.

В случае замыкания цепи (т. е. подключения к источнику тока) до тех пор, пока сила тока не примет установившегося значения , в цепи, кроме э. д. с. , будет действовать э. д. с. самоиндукции , которая приведет к тому, что ток в цепи будет нарастать по закону . Действительно, .

По сравнению с предыдущим случаем в правой части появился член, отличный от нуля. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно общему решению однородного уравнения плюс частное решение неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения было получено выше; частное решение неоднородного уравнения очевидно: . Сумма этих решений (; – постоянная) дает закон нарастания силы тока в цепи. Действительно, в начальный момент времени , откуда . Значит,

.

График убывания и нарастания силы тока при размыкании и замыкании цепи представлен на рис. 3.5.8.

Рис. 3.5.8

Пример 3. Определить, через какое время сила тока замыкания достигнет предельного значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением и индуктивностью .

Решение. . Поскольку , то . Логарифмируя последнее равенство, получаем:

.

3.5.5. Индуктивность

В соответствии с законом Био–Савара–Лапласа индукция магнитного поля пропорциональна силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что ток в катушке и создаваемый им полный магнитный поток пропорциональны друг другу: . Коэффициент пропорциональности между силой тока и полным магнитным потоком называется индуктивностью контура.

Необходимо отметить, что линейная зависимость полного магнитного потока от силы тока имеет место лишь в том случае, если относительная магнитная проницаемость среды, которой окружена катушка, не зависит от напряженности поля , т. е. при отсутствии ферромагнетиков.

Индуктивность катушки (или любого другого контура) зависит от ее геометрии (т. е. от формы и размеров) и магнитных свойств окружающей среды. За единицу индуктивности принимается индуктивность такого проводника, у которого при силе тока в нем возникает полный магнитный поток, равный . Эту единицу называют генри ().

Вычислим индуктивность бесконечного соленоида. Магнитная индукция поля внутри соленоида равна: , где – число витков на единицу длины. Поток магнитной индукции через каждый из витков , а полный магнитный поток (потокосцепление) ( – очень большая длина соленоида; – площадь поперечного сечения). Так как , то или .

Пример 4. Обмотка соленоида состоит из витков медной проволоки, поперечное сечение которой . Длина соленоида и его сопротивление . Найти индуктивность соленоида.

Решение. Индуктивность соленоида , где – площадь витка соленоида. Для нахождения площади витка имеем: длина окружности витка ( – длина проволоки); , где – удельное сопротивление меди. Поскольку , то . Отсюда площадь витка равна: . Подставляя это выражение в формулу для , получаем: . Учтено, что для воздуха .