Физика (стр. 56 )

В точке, отстоящей от первого и второго токов на расстояниях и , соответственно, суммарная индукция определится векторной суммой векторов индукции, создаваемых первым и вторым токами. Направлены эти векторы по касательным к соответствующим окружностям, следовательно, противоположно друг другу:

; .

Модуль результирующей индукции будет равен их разности:

.

Пример 2. Прямой бесконечный проводник имеет круговую петлю радиусом (рис. 3.4.5). Определить силу тока в проводнике, если известно, что в точке магнитная индукция .

Рис. 3.4.5

Решение. Направления векторов магнитной индукции полей, создаваемых прямым и круговым токами, в точке совпадают. Значит, модуль результирующей индукции определится суммой модулей этих векторов:

; .

Отсюда

Расчет магнитного поля соленоида

Напряженность и магнитная индукция магнитного поля сложно зависят от размеров и формы проводника, по которому проходит ток. В некоторых случаях эти зависимости сравнительно просты, например, легко считается поле внутри соленоида и тороида.

Длинную цилиндрическую катушку, состоящую из некоторого числа витков проволоки, намотанной по спирали, называют соленоидом. Катушка, намотанная на каркас, имеющий форму тора, называется тороидом.

Расчет магнитного поля соленоида и тороида основан на теореме о циркуляции вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора магнитной индукции по заданному замкнутому контуру называется интеграл . Рассмотрим случай, когда контур лежит в плоскости, перпендикулярной к току (рис. 3.4.6). В каждой точке контура вектор направлен по касательной к соответствующей окружности. Так как (свойство скалярного произведения векторов), мы можем заменить через . Но , где – расстояние от прямого тока до , а – угол, на который поворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на отрезок . Таким образом, имеем:

.

Значит, циркуляция равна: . При обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая все время поворачивается в одном направлении, поэтому .

Рис. 3.4.6

Если контур не охватывает ток, то при обходе по контуру радиальная прямая сначала поворачивается в одном направлении (рис. 3.4.7), а затем в противоположном, поэтому . Учитывая это, можно написать , где под следует понимать ток, охватываемый контуром. Если контур не охватывает ток, то циркуляция вектора равна нулю.

Рис. 3.4.7

Если контур имеет произвольную форму, то вместо радиальной прямой нужно рассматривать ее проекцию на перпендикулярную к току плоскость.

Если контур охватывает несколько токов, то циркуляция вектора равна их алгебраической сумме, умноженной на магнитную постоянную .

Воспользовавшись последним выражением, несложно вычислить магнитную индукцию поля бесконечно длинного соленоида. Бесконечно длинный соленоид симметричен относительно любой перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, индукция которого перпендикулярна к плоскости (рис. 3.4.8). Следовательно, в любой точке внутри и вне соленоида индукция может иметь лишь направление, параллельное оси.

Рис. 3.4.8

Возьмем прямоугольный контур 1–2–3–4–1 (рис. 3.4.9). Циркуляцию вектора по этому контуру можно представить следующим образом:

.

Из четырех интегралов, стоящих в правой части, второй и четвертый равны нулю, так как перпендикулярен к участкам контура, по которым они берутся. Взяв участок 3–4 на большом расстоянии от соленоида, третьим слагаемым можно пренебречь (поле там заведомо очень слабое). Следовательно, из четырех слагаемых остается одно: (здесь – индукция поля в тех точках, где располагается отрезок 1–2; – длина этого отрезка). Контур 1–2–3–4–1 охватывает суммарный ток , где – число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины, – сила тока в соленоиде. Используя теорему о циркуляции , получаем: , откуда .

Рис. 3.4.9

Несложно доказать, что индукция поля, создаваемого тороидом, выражается точно так же.

Пример 3. Из проволоки диаметром необходимо намотать соленоид, внутри которого напряженность магнитного поля должна быть равна . Предельная сила тока, которую можно пропускать по проволоке, равна . Из какого числа слоев будет состоять обмотка соленоида, если витки наматывать плотно друг к другу? Диаметр катушки считать малым по сравнению с ее длиной.

Решение. По условию напряженность магнитного поля (). Здесь – число витков на единицу длины соленоида. Отсюда . При диаметре проволоки на длине уложится витков. Значит, обмотка соленоида будет содержать четыре слоя.

3.4.3. Намагничивание вещества

До сих пор мы говорили о магнитных полях, создаваемых проводниками с током в вакууме. Если несущие ток проводники находятся в каком-либо веществе, то магнитное поле существенным образом меняется. Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, т. е. способно под действием магнитного поля намагничиваться (приобретать магнитный момент) и создавать собственное магнитное поле , которое накладывается на магнитное поле, обусловленное токами, . Результирующее поле определяется геометрической суммой . В вакууме , отсюда .