Физика (стр. 51 )

Пример 5. На схеме (рис. 3.3.5) сопротивление , и – два элемента, э. д. с. которых одинаковы и равны: . Внутренние сопротивления этих элементов равны, соответственно, и . Найти силу тока в каждом из элементов и во всей цепи.

Рис. 3.3.5

Решение. Поскольку элементы соединены параллельно и э. д. с. их одинаковы, суммарная э. д. с., развиваемая такой батареей, равна э. д. с. каждого из них. Результирующее внутреннее сопротивление элементов при параллельном соединении составляет . Полное сопротивление цепи – . В соответствии с законом Ома для замкнутой цепи через сопротивление и элементы течет суммарный ток . Падение напряжения на сопротивлении равно . Отсюда падение напряжения на внутренних сопротивлениях элементов составляет . Тогда ток в первом элементе ; во втором элементе – .

3.3.5. Правила Кирхгофа

Закон Ома позволяет рассчитать практически любую электрическую цепь. Однако расчет значительно упрощается, если пользоваться правилами, сформулированными Кирхгофом. Этих правил два.

Первое относится к узлам цепи. Узлом называется точка, в которой сходится не менее трех проводников (рис. 3.3.6). Ток, текущий к узлу, считается положительным; ток, вытекающий из узла, – отрицательным. Первое правило Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: . Это правило вытекает из закона сохранения электрического заряда. Если бы алгебраическая сумма токов была отлична от нуля, в узле происходило бы накапливание или уменьшение заряда. Это приводило бы к изменению потенциала узла и изменению текущих в цепи токов. Значит, для того чтобы токи в цепи были постоянными, должно выполняться первое правило Кирхгофа.

Рис. 3.3.6

Первое правило Кирхгофа может быть применено к каждому из N узлов цепи, но независимыми будут только (N – 1) уравнения; одно уравнение может быть получено с помощью комбинации всех остальных.

Для обоснования второго правила Кирхгофа выделим мысленно в разветвленной цепи произвольный замкнутый контур (например, контур 1–2–3–4–1, рис. 3.3.7). Зададимся произвольно направлением обхода, например, по часовой стрелке, и применим к каждому из неразветвленных участков закон Ома:

Сложим полученные уравнения: . Последнее равенство выражает второе правило Кирхгофа: сумма падений напряжений на всех участках замкнутого контура равна сумме действующих в контуре э. д. с.

Уравнение по второму правилу Кирхгофа может быть составлено для всех замкнутых контуров, которые можно выделить мысленно в данной разветвленной цепи. Но независимыми будут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров друг на друга.

Рис. 3.3.7

При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа токам и э. д. с. нужно приписывать знаки в соответствии с выбранным направлением обхода контура. Ток во внешней цепи течет от положительного полюса источника к отрицательному, а внутри источника – от отрицательного к положительному. Если во внешней цепи ток течет навстречу выбранному направлению обхода контура, то его нужно считать отрицательным, если ток течет по направлению обхода, то его нужно считать положительным. Аналогично, э. д. с. следует считать отрицательной, если она действует в направлении, противоположном выбранному направлению обхода.

Направления обхода в каждом из контуров выбираются произвольно и независимо от выбора направлений в других контурах. При этом может случиться, что один и тот же ток (или одна и та же э. д. с.) войдет в разные уравнения с разными знаками. Это не имеет значения, потому что изменение направления обхода вызывает лишь изменение всех знаков в уравнении на обратные.

Составляя уравнения по второму правилу Кирхгофа, следует помнить, что через любое сечение неразветвленного участка цепи течет один и тот же ток.

Число независимых уравнений, составленных в соответствии с первым и вторым правилами Кирхгофа, оказывается равным числу различных токов, текущих в разветвленной цепи. Поэтому если заданы э. д. с. и сопротивления всех неразветвленных участков, то могут быть вычислены все токи. Можно решать задачи и другого рода, например, найти э. д. с., которые нужно включить в каждый из участков цепи, чтобы получить при заданных сопротивлениях нужные токи.

Пример 6. На схеме (рис. 3.3.8) даны . Необходимо найти , при которой , и получающиеся при этом токи и .

Рис. 3.3.8

Цепь имеет два узла (точки 3 и 6) и в ней можно выделить три замкнутых контура (1–2–3–6–1; 3–4–5–6–3; 1–2–4–5–1). Уравнения, составленные по первому правилу Кирхгофа для обоих узлов, не будут независимыми. Действительно, для указанных на схеме направлений токов имеем: для узла 3 ; для узла 6 . Очевидно, что любое из этих уравнений можно получить из другого заменой знаков на обратные. (В дальнейшем будем использовать первое из них.)

Любой из трех указанных контуров может быть получен наложением двух других контуров. Значит, только два уравнения, составленные по второму правилу Кирхгофа, будут линейно не зависимы. Используем контуры 1–2–3–6–1 и 3–4–5–6–3. Зададимся на этих контурах направлениями обхода (произвольно, например, как на рисунке) и составим уравнения, учитывая, что внутри источников носители зарядов движутся от минуса к плюсу: для контура 1–2–3–6–1: ; для контура 3–4–5–6–3: . (Уравнение, составленное для контура 1–2–4–5–1, будет линейной комбинацией последних двух уравнений.)

Подставляя числовые значения в полученные уравнения, получаем:

Система трех уравнений с тремя неизвестными легко решается, например, по правилу Крамера:

; ; .

Для получено отрицательное значение. Это означает, что направление действия должно быть противоположным показанному на рисунке, которое принималось при расчете. Ток также будет течь не в направлении 3–4, как указано на рисунке, а в противоположном направлении.

3.3.6. Расчет мощности, выделяемой в цепи

Расчет электрической цепи включает в себя не только определение токов и напряжений на отдельных участках, но и определение мощности, выделяемой в цепи.

Электрическая цепь включает в себя источник тока, подводящие провода и потребителя тока. Каждый из этих элементов обладает сопротивлением. Как правило, сопротивление подводящих проводов мало по сравнению с сопротивлением источника тока и потребителя (нагрузки), поэтому почти всегда в расчетах его не учитывают.

Как мы уже знаем, сила тока в замкнутой цепи равна: , где – сопротивление источника, – сопротивление нагрузки. В замкнутой цепи напряжение на нагрузке одинаково с напряжением на зажимах э. д. с. и равно: . Напряжение на нагрузке меньше э. д. с. При разомкнутой цепи () получаем , т. е. напряжение на зажимах разомкнутого источника равно его э. д.с.