Физика (стр. 42 )

Для однородного поля, в котором вектор напряженности во всех точках постоянен по величине и направлению (например, поля между двумя разноименно заряженными бесконечными пластинами), линии напряженности параллельны вектору напряженности. Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности при положительном заряде – радиальные прямые, выходящие из заряда, при отрицптельном заряде – входящие в него (рис. 3.1.4). Графический способ представления электрического поля широко применяется в электротехнике.

Рис. 3.1.4

Линии напряженности нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются; они, начавшись на заряде, уходят в бесконечность, если заряд положительный, либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на заряде, если он отрицательный. Это свойство линий напряженности является общим для всех электрических полей, т. е. полей, создаваемых любой системой неподвижных электрических зарядов. Это становится понятным, если учесть, что полное число линий напряженности, пересекающих сферическую поверхность произвольного радиуса , окружающую заряд, будет равно произведению густоты линий на площадь поверхности сферы . Густота линий по определению численно равна напряженности . Следовательно, , т. е. число линий на любом расстоянии от заряда будет одно и то же. (Приведенное выражение для характеризует только численное равенство и не имеет физического смысла.)

3.1.6. Поток вектора. Теорема Гаусса

Введем понятие потока вектора через поверхность. Если имеется поле некоторого вектора , то выражение , где – составляющая вектора по направлению нормали к площадке , называется потоком вектора через поверхность . Здесь – угол между векторами и . Если величину рассматривать как вектор с модулем, равным , направленный по нормали , то можно написать: , где – скалярное произведение векторов и .

В соответствии с этим определением выражение есть поток вектора напряженности через поверхность . Подынтегральное выражение есть ничто иное, как произведение напряженности на площадку, нормальную линиям напряженности: , т. е. численно равно количеству линий напряженности, пронизывающих площадку . Значит, поток вектора напряженности численно равен количеству линий , пронизывающих всю поверхность . Как было показано выше, поток вектора сквозь охватывающую точечный заряд сферическую поверхность оказывается равным . Нетрудно показать, что это справедливо и для любой замкнутой поверхности, охватывающей заряд.

Пусть внутри замкнутой поверхности заключено несколько точечных зарядов произвольных знаков: и т. д. Поток вектора по определению равен: (интегрирование производится по замкнутой поверхности). В силу принципа суперпозиции полей

Используя это, получаем: , где – нормальная составляющая напряженности поля, создаваемого -м зарядом в отдельности. Но . Следовательно,

.

Доказанное равенство носит название теоремы Гаусса: «Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную».

3.1.7. Применение теоремы Гаусса для расчета электрических полей

Теорема Гаусса позволяет легко определить напряженность поля. Рассмотрим несколько случаев.

Поле бесконечной однородно заряженной плоскости. Поскольку плоскость бесконечна и заряжена однородно (т. е. с постоянной плотностью), нет никаких оснований к тому, чтобы сила, действующая на пробный заряд, отклонялась в какую-либо сторону от нормали к плоскости. Значит, напряженность в любой точке поля имеет направление, перпендикулярное к плоскости.

Очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напряженность поля будет одинакова по величине и противоположна по направлению.

Мысленно вырежем цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями величины , расположенными относительно плоскости симметрично (рис. 3.1.5). Применим к этой поверхности теорему Гаусса. Поток вектора напряженности через боковую часть поверхности равен нулю, т. к. нормальная составляющая вектора напряженности в каждой ее точке равна нулю . Для оснований совпадает с . Следовательно, суммарный поток вектора напряженности через поверхность . Внутри поверхности заключен заряд ( – поверхностная плотность заряда ). По теореме Гаусса, , откуда .

Рис. 3.1.5

Поле двух разноименно заряженных плоскостей. Поле двух параллельных бесконечных плоскостей, заряженных разноименно с одинаковой по величине постоянной поверхностной плотностью , можно найти как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. Очевидно, что в области между плоскостями складываемые поля имеют одинаковое направление, так что результирующая напряженность равна: (рис. 3.1.6). Вне объема, ограниченного плоскостями, складываемые поля имеют противоположные направления, так что результирующая напряженность равна нулю.

Рис. 3.1.6

Поле бесконечного заряженного цилиндра. Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса , заряженной с постоянной поверхностной плотностью . Из соображений симметрии следует, что напряженность поля в любой точке должна быть направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярной к оси цилиндра, а модуль вектора напряженности может зависеть лишь от расстояния от оси цилиндра.